1. 关于(子空间的)直和(direct sum)的较正式定义
令 为向量空间 的子空间,若 且 是独立的,则称 是子空间 的直和(direct sum), 记为
,
这种表示在同一个基的前提下是唯一的。
一个直观几何类比理解(个人愚见):如果我将向量空间V 看成是一条线段,将线段V截成k段长短不一的线段,这些线段之间不能互相重合,理解成子空间的互不相关,如果第i(1≤ i ≤k)段恰好对应子空间 ,则这些子线段长度之后恰好等于线段V,就类似于互相独立的子空间之和恰好等于向量空间V 。这个“直”字强调的是“无重复成分”,如果这些子空间有个别互相相关,其和等于向量空间V,这种情况不能称为直和。或许冠名“和”的术语在数学中有很多个,取名“直和”也可能是为了区分各种不同的“和”,就和“内积”和“外积”类似。
2. “直和(direct sum)”概念的可能起源
“direct sum”和“direct product”过去并不具有现在运算意义上的含义,即使在今天,旧的用法仍然存在。Van der Waerden 在<<现代代数>>(Moderne Algebra)(1930-1931)中(以下章节编号根据 1967 年版给出),在假定运算采用加法约定时使用“direct sum”(例如,对于环和模,第 92 节),在假定运算采用乘法约定时使用“direct product”(例如,对于一般群,第 53 节)。 他还在伽罗瓦理论(Galois theory)的特殊背景下使用“direct product”来表示现在所谓的张量积(tensor product)(§67),但这部分是在 1967 年添加的。范德瓦尔登(Van der Waerden)的书基于 Artin 和 Emmy Noether 在 1920 年代中期的讲座。基于加法/乘法惯例的和/积区别在群论中仍然流行。
Murray 和 von Neumann 从 1936 年开始使用“direct product”来表示(向量空间的)张量积,他们还首创了符号 ⊗,请参阅历史:直积成为张量积? 这与矩阵的类似用途有关,例如 在 MacDuffee 的<<矩阵理论>>(The theory of matrices)(1933年)中,“direct sum”代表对角组合矩阵,“direct product”代表“Kronecker”乘积。 Kronecker与此关系不大,但这个名字在Hensel c. 后一直沿用至今。1890年(Zehfuss 早在 1858 年就引入了它,请参阅 Henderson 等人的<<关于 Kronecker 积的历史>>)。“direct product”仍然偶有使用。
Bourbaki(20世纪一群法国数学家的笔名)决定在他们的代数 I(多重线性代数,1948)中对其进行整理并分类。在那里,他们为笛卡尔积(Cartesian product)(注:两个集合X和Y的笛卡尔积,表示为X × Y,第一个对象是X的每一个成员与第二个对象是Y的每个成员组成的所有可能的有序对)保留了(模块的)“direct product”(无论运算的约定如何),为其子集保留了“direct sum”,只有有限多个非零条目,并将其与遵循Whitney 1938年的一般定义的的“张量积”分开,请参阅张量积的现代定义的起源。所有这一切都发生在通用属性(universal property)、乘积(product)和对偶积(coproduct)的分类概念(categorical notions)在 20 世纪 50 年代流行之前。但是,Bourbaki的整理工作很可能是受到无限求和(infinite sum)和对无限积的启发。
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