【数字逻辑】——逻辑函数及其简化（学习笔记）

📖 前言：1849年英国数学家乔治，布尔（ George Boole ）首先提出了描述客观事物逻辑关系的数学方法﹣布尔代数。1938年克劳德．香农（ Claude E . Shannon ）将布尔代数应用到继电器开关电路的设计，因此又称为开关代数。随着数字技术的发展，布尔代数成为数字逻辑电路分析和设计的基础，又称为逻辑代数。它在二值逻辑电路中得到广泛应用。

🕒 1. 逻辑代数

🕘 1.1 基本逻辑

🕤 1.1.1 与、或、非

1. 与逻辑运算：有0出0，全1出1
   
   一般形式： $A\cdot 1=A$
         $A\cdot 0=0$
         $A\cdot A=A$

2. 或逻辑运算：有1出1，全0出0
   
   一般形式： $A+0=A$
         $A+1=1$
         $A+A=A$

3. 非逻辑运算
   
   一般形式： $\overline{\overline{A}}=A$
         $A+\overline{A}=1$
         $A\cdot \overline{A}=0$

逻辑符号表示法：

能实现基本逻辑关系的基本单元电路称为逻辑门电路。如与门、或门、非门（反相器）等。

🕘 1.2 基本逻辑运算

🕤 1.2.1 与非逻辑

$P=\overline{A\cdot B}$      有0出1，全1出0

🕤 1.2.2 或非逻辑

$P=\overline{A+B}$      全0出1，有1出0

🕤 1.2.3 与或非逻辑

$P=\overline{A\cdot B+C\cdot D}$

🕤 1.2.4 同或逻辑

$P=A\odot B=\overline{A}\cdot \overline{B}+A\cdot B$      相同得1，相异得0

运算规则： $0\odot 0=1$
      $0\odot 1=0$
      $1\odot 0=0$
      $1\odot 1=1$

一般形式： $A\odot 0=\overline{A}$
      $A\odot 1=A$
      $A\odot \overline{A}=0$
      $A\odot A=1$

🕤 1.2.5 异或逻辑

$P=A\oplus B=A\cdot \overline{B}+\overline{A}\cdot B$      相同得0，相异得1

运算规则： $0\oplus 0=0$
      $0\oplus 1=1$
      $1\oplus 0=1$
      $1\oplus 1=0$

一般形式： $A\oplus 0=A$
      $A\oplus 1=\overline{A}$
      $A\oplus \overline{A}=1$
      $A\oplus A=0$

🕤 1.2.6 同或和异或的关系

$A\odot B=\overline{A\oplus B}$
$A\oplus B=\overline{A\odot B}$

若两个变量的原变量相同，则取非后的反变量也相同；反之亦然。因此有：
$A\odot B=\overline{A}\odot \overline{B}$
$A\oplus B=\overline{A}\oplus \overline{B}$

若变量A和变量B相同，则$\overline{A}$必与B相异或A与$\overline{B}$相异；反之亦然。因此有：
$A\odot B=\overline{A}\oplus B=A\oplus \overline{B}$
$A\oplus B=\overline{A}\odot B=A\odot \overline{B}$

复合逻辑符号

🕘 1.3 真值表与逻辑函数

🕤 1.3.1 由逻辑式转换到真值表

具体步骤：

1. 确定逻辑表达式中输入变量个数及他们的取值组合，N个输入变量有$2^N$个取值组合。
2. 画出输入与输出一一对应的表格，输入变量的取值按二进制递增的自然顺序排列。
3. 将逻辑表达式化成与或表达式，找出其中所有的与项，在真值表中所有包含与项对应输出填1，其余输出填0。

例1：将函数$Y=\overline{\overline{A}B}\cdot C$转换成真值表
解答：逻辑表达式输入变量A、B、C有$2^3=8$个取值，将输入与输出一一对应表格，按二进制递增顺序排列。

将逻辑表达式化为与或表达式：$Y=\overline{\overline{A}B}\cdot C=(A+\overline{B})\cdot C=AC+\overline{B}\cdot C$
在真值表中找出两个与项，对应值填1，其余填0。
$\begin{array}{cccc}A& B& C& Y\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 1\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 1& 1& 0\\ 1& 0& 0& 0\\ 1& 0& 1& 1\\ 1& 1& 0& 0\\ 1& 1& 1& 1\end{array}$

🕤 1.3.2 由真值表转换到逻辑式

具体步骤：

1. 将真值表中每一组使输出函数值为1的输入变量都写成一个乘积项。
2. 将这些乘积项中输入变量取值为1的用原变量代替，取值为0的用反变量代替
3. 将这些乘积项相加即得逻辑式。

例2：图2-1-6为楼道里“单刀双掷”开关控制楼道灯的示意图。A表示楼上开关，B表示楼下开关，两个开关的上接点分别为a和b；下接点分别为c和d。在楼下时，可以按动开关B开灯，照亮楼梯；到楼上后，可以按动开关A关掉灯。其开通和关断情况与灯亮灭的关系如表2-1-12(a)所示。

• 第一步：消化逻辑命题并列写出真值表

对上述电路，用数学方法来描述。设逻辑变量 P表示灯的亮和灭，取$P=1$表示灯亮，$P=0$表示灯灭；开关A和B接到上接点a和b时为1，接到下接点c和d时为0。这样开关A和B可能有四种组合情况,即A、B为00、01、10、11，列于表2-1-12(b) 的左边，根据开关电路的作用，不难写出P的值，如表2-1-12(b)所示，表2-1-12(b)称为逻辑函数P的真值表。

• 第二步：由真值表写逻辑函数表达式

方法一：把每个输出为1的一组输入变量组合状态以逻辑乘形式表示（原变量表示取值1，反变量表示取值0），再将所有的这些逻辑乘进行逻辑加。这种表达式称为与－或表达式，或称为“积之和”式。
$$P=\overline{A}\cdot \overline{B}+A\cdot B$$

方法二：把每个输出为0的一组输入变量组合状态以逻辑加形式表示（原变量表示取值0，反变量表示取值1），再将所有的这些逻辑加进行逻辑乘。这种表达式称为或－与表达式，或称为“和之积”式。
$$P=(A+\overline{B})\cdot (\overline{A}+B)$$

例3：列出下列问题的真值表，并写出描述该问题的逻辑函数表达式。
有A、B、C３个输入信号，当３个输入信号中有两个或两个以上为高电平时，输出高电平，其余情况下，均输出低电平。

解：根据题意可得到真值表：
$\begin{array}{cccc}A& B& C& P\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 1& 1& 1\\ 1& 0& 0& 0\\ 1& 0& 1& 1\\ 1& 1& 0& 1\\ 1& 1& 1& 1\end{array}$

“积之和” 式：$P=\bar{A}BC+A\bar{B}C+AB\bar{C}+ABC$

“和之积” 式：$P=(A+B+C)(A+B+\bar{C})(A+\bar{B}+C)(\bar{A}+B+C)$

🕘 1.4 逻辑函数相等

假设F和G都是变量$A_1、A_2、\cdot \cdot \cdot 、A_n$的逻辑函数，如果对应于$A_1、A_2、\cdot \cdot \cdot 、A_n$的任一组状态组合，F和G的值都相同，则F和G是相等的，记作$F＝G$。
若F＝G，则它们具有相同的真值表；反之，若F和G的真值表相同，则F＝G 。
适用情况：逻辑表达式简单，逻辑变量较少。

例4： 设$F(A,B,C)=A(B+C)$，$G(A,B,C)=AB+AC$，请证明：$F=G$。

解：列写函数F和G的真值表，如果二者的真值表完全一致，则说明F＝G。

$\begin{array}{ccccc}A& B& C& F=A(B+C)& G=AB+AC\\ 0& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 1& 0& 0\\ 1& 0& 0& 0& 0\\ 1& 0& 1& 1& 1\\ 1& 1& 0& 1& 1\\ 1& 1& 1& 1& 1\end{array}$

🕤 1.4.1 逻辑代数基本规律

1. 自等律
   $A+0=AA\cdot 1=A$

2. 0-1律
   $A+1=1A\cdot 0=0$

3. 互补律
   $A+\bar{A}=1A\cdot \bar{A}=0$
   $A\odot 0=\bar{A}A\oplus 1=\bar{A}$
   $A\odot 1=AA\oplus 0=A$
   $A\odot \bar{A}=0A\oplus \bar{A}=1$

4. 交换律
   $A+B=B+AA\cdot B=B\cdot A$
   $A\odot B=B\odot AA\oplus B=B\oplus A$

5. 结合律
   $A+B+C=(A+B)+CABC=(AB)C$
   $A\odot B\odot C=(A\odot B)\odot CA\oplus B\oplus C=(A\oplus B)\oplus C$

6. 分配律
   $A(B+C)=AB+ACA+BC=(A+B)(A+C)$
   $A(B\oplus C)=AB\oplus ACA+(B\odot C)=(A+B)\odot (A+C)$

7. 重叠律
   $A+A=AA\cdot A=A$
   $A\odot A=1A\oplus A=0$
   推广：奇数个A重叠同或运算得A，偶数个A重叠同或运算得1；奇数个A重叠异或运算得A，偶数个A重叠异或运算得0

8. 反演律（德·摩根定理）
   $\overline{A+B}=\bar{A}\cdot \bar{B}$
   $\overline{AB}=\bar{A}+\bar{B}$
   $\overline{A\odot B}=A\oplus B$
   $\overline{A\oplus B}=A\odot B$

9. 调换律
   若 $A\odot B=C$ , 则必有$A\odot C=B,B\odot C=A$
   若 $A\oplus B=C$ , 则必有$A\oplus C=B,B\oplus C=A$
   推论：
   $A\cdot B=A\odot B\odot (A+B)A+B=A\oplus B\oplus (A\cdot B)$
   $A+B=A\odot B\odot (A\cdot B)A\cdot B=A\oplus B\oplus (A+B)$
   对于同或和异或函数, 非运算也可以调换, 即
   $A\odot \bar{B}=\bar{A}\odot B=\overline{A\odot B}$
   $A\oplus \bar{B}=\bar{A}\oplus B=\overline{A\oplus B}$

🕘 1.5 三个规则

🕤 1.5.1 代入规则

任何一个含有变量A的等式，如果将所有出现变量A的地方都代之以一个逻辑函数F，则等式仍然成立。

例5： 已知等式$A(B+E)=AB+AE$，试证明将所有出现E的地方代之以$(C+D)$ ，等式仍成立。

解：原式左边＝$A[B+(C+D)]＝AB+A(C+D)＝AB+AC+AD$
原式右边＝ $AB+A(C+D)＝AB+AC+AD$
所以等式仍然成立。

🕤 1.5.2 反演规则

设$F$为任意逻辑表达式，若将$F$中所有运算符、常量及变量作如下变换：
$$\begin{array}{cccccc}\cdot & +& 0& 1& \text{ 原变量 }& \text{ 反变量 }\\ \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow \\ & & & & & \\ +& \cdot & 1& 0& \text{ 反变量 }& \text{ 原变量 }\end{array}$$
则所得新的逻辑式即为$F$的反函数，记为$\bar{F}$。

例6： 已知$F=\bar{A}\bar{B}+C\overline{D}$，求$\overline{F}$
解：由反演规则，可得$\overline{F}=(A+B)(\overline{C}+\overline{D})$
若用反演律求解，则$\overline{F}=\overline{\bar{A}\bar{B}+CD}=\overline{\bar{A}\bar{B}}\cdot \overline{CD}=(A+B)(\overline{C}+\overline{D})$

例7： 已知 $F=A+\overline{B+\bar{C}\overline{D+\bar{E}}}$ , 求$\overline{F}$ 。
解：由反演规则, 可得 $\bar{F}=\bar{A}\cdot \overline{\bar{B}\cdot (C+\overline{\bar{D}\cdot E}})$

由求反函数注意：① 保持原式运算的优先次序；
② 原式中的不属于单变量上的非号不变。

🕤 1.5.3 对偶规则

设$F$为任意逻辑表达式，若将$F$中所有运算符和常量作如下变换：
$$\begin{array}{cccc}\cdot & +& 0& 1\\ \downarrow & \downarrow & \downarrow & \downarrow \\ & & & \\ +& \cdot & 1& 0\end{array}$$
则所得新的逻辑式即为$F$的对偶式，记为$F^{\ast }$

$F=A(B+\overline{C})F^{\ast }=A+(B\overline{C})$
$F=A+B\overline{C}{F}^{\ast }=A(B+\overline{C})$
$F=A\overline{B}+A(C+0)F^{\ast }=(A+\overline{B})(A+C\cdot 1)$

注意：对偶式和反演式的区别是对偶式不需要将原变量与反变量互换。
推论：若有两个逻辑表达式$F$和$G$相等，则各自的对偶式$F^{\ast }$和$G^{\ast }$也相等。

🕘 1.6 常用公式

1. $AB+A\overline{B}=A$（消去律）
   证明：$AB+A\overline{B}=A(B+\overline{B})=A\cdot 1=A$
   对偶式：$(A+B)\cdot (A+\overline{B})=A$
   该公式说明：两个乘积项相加时，若它们只有一个因子不同（如一项中有$B$，另一项中有$\overline{B}$ ），而其余因子完全相同，则这两项可以合并成一项，且能消去那个不同的因子(即$B$和$\overline{B}$)。

2. $A+AB=A$（吸收律1）
   证明：$A+AB=A(1+B)=A\cdot 1=A$
   对偶式：$A(A+B)=A$
   该公式说明：两个乘积项相加时，若其中一项是另一项的因子，则另一项是多余的。

3. $A+\overline{A}B=A+B$（吸收律2）
   证明：$A+\overline{A}B=(A+\overline{A})(A+B)=1\cdot (A+B)=A+B$
   对偶式：$A(\overline{A}+B)=AB$
   该公式说明：两乘积项相加时，若其中一项的非是另一项的因子，则此因子是多余的。

4. $AB+\overline{A}C+\overline{B}C=AB+\overline{A}C$
   证明：$$\begin{gathered} AB+\bar{A}C+BC \\ =AB+\bar{A}C+(A+\bar{A})BC \\ =AB+\bar{A}C+ABC+\bar{A}BC \\ =AB(1+C)+\bar{A}C(1+B) \\ =AB+\bar{A}C \end{gathered}$$
   对偶关系：$$\begin{gathered} (A+B)(\bar{A}+C)(B+C) \\ =(A+B)(\bar{A}+C) \end{gathered}$$
   该公式说明：三个乘积项相加时，其中两个乘积项中，一项含有原变量$A$，另一项含有反变量$\overline{A}$，而这两项的其余因子都是第三个乘积的因子，则第三个乘积项是多余的。
   推广：$AB+\overline{A}C+BCDE+...=AB+\overline{A}C$

5. $AB+\overline{A}C+\overline{B}C=(A+C)(\overline{A}+B)$（交叉互换律）
   证明：右边$=A\overline{A}+AB+\overline{A}C+BC=AB+\overline{A}C+BC=$左边
   对偶律：$(A+B)(\overline{A}+B)=AC+\overline{A}B$

例8：将2022个“1”异或起来得到的结果
答案：0

🕘 1.7 逻辑函数的标准形式

🕤 1.7.1 最小项表达式

1. 定义：如两个变量$A、B$可构成$4$个最小项：$\bar{A}\bar{B}、\bar{A}B、A\bar{B}、AB$。最小项是一个包含所有输入的与项。n个变量的最小项有$2^n$个。

2. 最小项编号：任一个最小项用$m_i$表示， $m$表示最小项，下标$i$为使该最小项为$1$的变量取值所对应的等效十进制数。求最小项编号时，原变量为1，反变量为0。
   eg：有最小项$\bar{A}BC$ ，要使该最小项为$1$ ，A 、B 、C 的取值应为0 、1 、1，二进制数011所等效的十进制数为3 ，所以$\bar{A}BC=m_3$。

3. 性质：
   ①、对于任意一个最小项，只有一组变量的取值可以使其值为1，其余均为0；
   ②、任意两个最小项$m_i$ 和$m_j$ 之积为0（$i\ne j$）；
   ③、$n$个变量的所有最小项（$2^n$个）之和为1。

4. 全部由最小项相加而构成的与－或表达式称为最小项表达式，又称为标准与－或式，或标准积之和式。

5. 书写形式：
   对于逻辑函数 $F=ABC+AB\bar{C}+\bar{A}BC+\bar{A}\bar{B}C$
   可以简写成: $F(A,B,C)=m_7+m_6+m_3+m_1$
   或写成: $F(A,B,C)={\sum }_m(1,3,6,7)$

6. 方法：先变换成与－或表达式，然后将各与项中所缺的变量逐步补齐。任何逻辑函数都有惟一的最小项表达式。

例9： 将 $F=ABC+\bar{A}CD+\bar{C}\bar{D}$ 展开成最小项表达式。
解：$$\begin{gathered} \mathbf{F}=ABC+\bar{A}CD+\bar{C}\bar{D}= \\ ABC(D+\bar{D})+\bar{A}(B+\bar{B})CD+(A+\bar{A})(B+\bar{B})\bar{C}\bar{D}= \\ ABCD+ABC\bar{D}+\bar{A}BCD+\bar{A}\bar{B}CD+AB\bar{C}\bar{D}+A\bar{B}\bar{C}\bar{D}+ \\ \bar{A}B\bar{C}\bar{D}+\bar{A}\bar{B}\bar{C}\bar{D} \end{gathered}$$

或写成：
$$\begin{gathered} F(A,B,C,D)=m_{15}+m_{14}+m_7+m_3+m_{12}+m_8+m_4+m_0 \\ F(A,B,C,D)={\sum }_m(0,3,4,7,8,12,14,15) \end{gathered}$$

注：如果函数表达式不是一个简单的与-或表达式，则首先将其转换成与-或表达式，再展开成最小项表达式

🕤 1.7.2 最大项表达式

1. 定义：如两个变量$A、B$可构成$4$个最大项：$\bar{A}+\bar{B}、\bar{A}+B、A+\bar{B}、A+B$。最大项是一个包含所有输入的或项。n个变量的最大项有$2^n$个。

2. 最大项编号：任一个最大项用$M_i$表示， $M$表示最大项，下标$i$为使该最大项为$0$的变量取值所对应的等效十进制数。求最大项编号时，原变量为0，反变量为1。
   eg：有最大项$\bar{A}+B+C$ ，要使该最大项为$0$ ，A 、B 、C 的取值应为1 、0 、0，二进制数100所等效的十进制数为4 ，所以$\bar{A}+B+C=M_4$。

3. 性质：
   ①、对于任意一个最大项，只有一组变量的取值可以使其值为0，其余均为1；
   ②、任意两个最小项$M_i$ 和$M_j$ 之和为1（$i\ne j$）；
   ③、$n$个变量的所有最大项（$2^n$个）之和为0。

4. 全部由最小项相加而构成的与－或表达式称为最小项表达式，又称为标准与－或式，或标准积之和式。

5. 书写形式：
   对于逻辑函数：$F=(A+B+C)(A+B+\bar{C})(\bar{A}+B+C)$
   可以简写成：$F(A,B,C)=M_0\cdot M_1\cdot M_4$
   或写成：$F(A,B,C)=\prod M(0,1,4)$

6. 方法：反复利用分配律$A+BC=(A+B)(A+C)$进行变换。任何逻辑函数都有惟一的最大项表达式。

例10： 将 $F=A+\bar{A}BC$ 展开成最大项表达式。
解：$$\begin{gathered} F=A+\bar{A}BC=A+BC=(A+B)(A+C) \\ =(A+B+C\bar{C})(A+B\bar{B}+C) \\ =(A+B+C)(A+B+\bar{C})(A+\bar{B}+C) \\ =M_0\cdot M_1\cdot M_2=\prod M(0,1,2) \end{gathered}$$

🕤 1.7.3 最小项和最大项之间的关系

可以看出：编号相同的最小项和最大项具有互补的特性，互为反函数。

🕤 1.7.4 两种标准形之间的相互转换

1. 最小项表达式→最大项表达式
   已知函数 $F=\sum m_i$
   由于 ${\sum }_{j=0}^{2^n-1}{m}_j=1,F+\bar{F}=1$
   所以 $\bar{F}={\sum }_{k\ne i}{m}_k,F=\overline{{\sum }_{k\ne i}{m}_k}$
   利用反演律可得： $F={\prod }_{k\ne i}\overline{m_k}={\prod }_{k\ne i}{M}_k$
   例如：$F(A,B,C)={\sum }_m(0,1,2,5,7)=\prod M(3,4,6)$

2. 最大项表达式→最小项表达式
   已知函数 $F=\prod M_i$
   由于 ${\prod }_{j=0}^{2^n-1}{M}_j=0,F\cdot \bar{F}=0$
   所以 $\bar{F}={\prod }_{k\ne i}{M}_k,F=\overline{{\prod }_{k\ne i}{M}_k}$
   利用反演律可得: $F={\sum }_{k\ne i}\overline{M_k}={\sum }_{k\ne i}{m}_k$
   例如: $F(A,B,C)=\prod M(0,1,2,4,5)={\sum }_m(3,6,7)$

🕒 2. 逻辑函数

🕘 2.1 公式法（代数法）

公式化简法就是运用逻辑代数的基本公式和常用公式化简逻辑函数。

🕤 2.1.1 合并项法

利用公式$AB+A\overline{B}=A$将两项合并为一项

例11：化简$A(BC+\bar{B}\bar{C})+A(B\bar{C}+\bar{B}C)$
解：原式$=ABC+A\bar{B}\bar{C}+AB\bar{C}+A\bar{B}C=AB+A\bar{B}=A$

🕤 2.1.2 吸收法

利用公式$A+AB=A及AB+\bar{A}C+BC=AB+\bar{A}C$，消去多余项

例12：化简$AC+A\bar{B}CD+ABC+\bar{C}D+ABD$
解：原式$=AC+\bar{C}D+ABD=AC+\bar{C}D$

🕤 2.1.3 消去法

利用公式$A+\bar{A}B=A+B$，消去多余因子$\bar{A}$

例12：化简$AB+\bar{A}C+\bar{B}C$
解：原式$=AB+(\bar{A}+\bar{B})C=AB+\overline{AB}C=AB+C$

🕤 2.1.4 配项法

为了求得最简结果，有时可以将某一乘积项乘以$(A+\bar{A})$,将一项展开为两项，或者利用式$AB+\overline{A}C+\overline{B}C=AB+\overline{A}C$增加$BC$项，再与其他乘积项进行合并化简，以达到求得最简结果的目的。

例13：化简$A\overline{B}+B\overline{C}+\overline{B}C+\overline{A}B$
解：原式$$\begin{gathered} =A\bar{B}+B\bar{C}+\bar{B}C(A+\bar{A})+\bar{A}B(C+\bar{C})= \\ A\bar{B}+B\bar{C}+A\bar{B}C+\bar{A}\bar{B}C+\bar{A}BC+\bar{A}B\bar{C}= \\ A\bar{B}+B\bar{C}+\bar{A}C \end{gathered}$$

例14：化简$\mathbf{F}=AB+A\bar{C}+\bar{B}C+\bar{B}D+B\bar{D}+B\bar{C}+ADE(F+G)$

解：原式$$\begin{gathered} =A(B+\bar{C})+\bar{B}C+\bar{B}D+B\bar{D}+B\bar{C}+ADE(F+G)= \\ A\overline{\bar{B}C}+\bar{B}C+\bar{B}D+B\bar{D}+B\bar{C}+ADE(F+G)=\text{ ( 反演律 }) \\ A+\bar{B}C+\bar{B}D+B\bar{D}+B\bar{C}+ADE(F+G)=\text{ ( 吸收 ) } \\ A+\bar{B}C+\bar{B}D+B\bar{D}+B\bar{C}+C\bar{D}=\text{ ( 吸收、配项 ) } \\ A+\bar{B}D+B\bar{C}+C\bar{D}\text{ ( 吸收 ) } \end{gathered}$$

例15：化简$\mathbf{F}=A(A+B)(\bar{A}+C)(B+D)(\bar{A}+C+E+F)(\bar{B}+F)(D+E+F)$

方法一：利用各公式的对偶式进行化简

解：原式$$\begin{gathered} =A(\bar{A}+C)(B+D)(\bar{B}+F) \\ =AC(B+D)(\bar{B}+F) \end{gathered}$$

方法二：将或－与表达式转换成它的对偶与－或式，先对与－或对偶式进行化简，再求化简后的与－或式的对偶式。

解：$$\begin{gathered} {\mathbf{F}}^{\ast }=A+AB+\bar{A}C+BD+\bar{A}CEF+\bar{B}F+DEF \\ =A+\bar{A}C+BD+\bar{B}F \\ =A+C+BD+\bar{B}F \end{gathered}$$

求 ${\mathbf{F}}^{\ast }$的对偶式
${\mathbf{F}}^{\ast }=AC(B+D)(\bar{B}+F)$

归纳：利用公式法化简逻辑函数，要求熟练掌握对公式的运用，技巧性较强。判断化简后的结果是否最简有一定的难度。

🕘 2.2 图解法（卡诺图法）

🕤 2.2.1 什么是卡诺图

• 卡诺图就是将逻辑变量分成两组，每一组变量取值组合按循环码的规则排列所构成的方格图，图中的每一个方格对应着逻辑变量的一个最小项。
• 所谓循环码，是指相邻两组编码之间只有一个变量值不同的编码。

🕤 2.2.2 用卡诺图表示逻辑函数的方法

依据：由于任意一个$n$变量的逻辑函数都可以变换成最小项表达式，而$n$变量的卡诺图包含$n$个变量的所有最小项，所以$n$变量的卡诺图可以表示$n$变量的任意一个逻辑函数。

方法：逻辑函数包含有哪几个最小项，就在卡诺图相对应的方格内填1，其余各方格填0。

例如：逻辑函数$\mathbf{F}(A,B,C)={\sum }_m(3,5,6,7)$，可在3变量卡诺图对应的$m_3，m_5，m_6，m_7$方格内填1，其余方格填0。

填1的方格表示当函数的变量取值与方格所对应的变量取值相同时，逻辑函数的值为1。
如果逻辑函数不是最小项表达式的形式，通常采用以下两种方法填写卡诺图：

• (1) 将逻辑函数变换成最小项表达式的形式。

例如：$$\begin{gathered} \mathbf{F}=AB\bar{C}+\bar{A}BD+AC \\ =AB\bar{C}\bar{D}+AB\bar{C}D+\bar{A}B\bar{C}D+\bar{A}BCD+A\bar{B}C\bar{D}+A\bar{B}CD+ABC\bar{D}+ABCD \\ ={\sum }_m(12,13,5,7,10,11,14,15) \end{gathered}$$

• (2) 观察法

对于某乘积项，找出所有使得该乘积项为1的变量取值情况，则在这些变量取值所对应的方格内都填1，就是该乘积项的卡诺图表示。
例如：$\mathbf{F}=\bar{A}B\bar{C}+\bar{C}D+BD$

对于乘积项$\bar{A}B\bar{C}$，因为缺少变量D，只要变量A、B、C分别取值0、1、0即可，不论D取0或1，都成立，因此当变量取值为0100和0101时，乘积项的值为1，所以在卡诺图对应的$m_4、m_5$方格内填1。

对于乘积项$BD$，只有当变量$B$和$D$都为1时，乘积项的值才为1，所以在满足该条件的$m_5、m_7、m_{13}、m_{15}$四个方格内填1。其余乘积项按相同方法处理。

🕤 2.2.3 利用卡诺图合并最小项的规律

依据：在卡诺图中，处于相邻位置的两个最小项都只有一个变量表现出取值0和1的差别，根据公式$AB+A\bar{B}=A$，这两个最小项就可以合并为一项。

• (1) 2个相邻项的合并

2个相邻的1格圈在一起，产生的合并项由圈内没有0、1变化的那些变量组成，消去了一个变量。

• (2) 4个相邻项的合并

4个相邻的1格圈在一起，有两个变量表现出0、1的变化，因此合并项由n-2个变量组成。

• (3) 8个相邻项的合并

8个相邻的1格圈在一起，有三个变量表现出0、1的变化，因此合并项由n-3个变量组成。

• (4) 关于5变量的卡诺图

对于５变量以上的卡诺图，某些相邻1格有时不是十分直观地可以辨认，因此一般不采用卡诺图进行化简。

归纳：
① 在卡诺图中合并最小项，将图中相邻1格加圈标志，每个圈内必须包含$2^i$个相邻1格。
② 在n变量的卡诺图中，$2^i$个相邻1格圈在一起时，圈内有$i$个变量发生0、1变化，合并后的乘积项由$n-i$个没有发生0、1变化的变量组成。

🕤 2.2.4 利用卡诺图化简逻辑函数

根据卡诺图合并最小项的规律，用卡诺图化简逻辑函数时，函数化简后乘积项的数目等于合并圈的数目，每个乘积项所含变量因子的多少，取决于合并圈的大小。

主要项：在卡诺图中，把$2^i$个相邻1格进行合并，如果合并圈不能再扩大，这样圈得的合并乘积项称为主要项。显然，主要项的圈不被更大的圈所覆盖。

必要项：如果主要项圈中至少有一个“特定”的１格没有被其他主要项所覆盖，这个主要项称为必要项或实质主要项。

多余项：如果一个主要项所包含的１格都被其他的主要项圈所覆盖，这个主要项就是多余项（冗余项）。

用卡诺图化简逻辑函数的步骤：

1. 将函数变换成最小项表达式的形式；(也可直接填写)

2. 填写卡诺图；(用卡诺图表示逻辑函数)

3. 按卡诺图合并最小项的规律画包围圈；
   (1)圈出所有没有相邻项的孤立１格主要项；
   (2)找出只有一种合并可能的１格，构成主要项；
   (3)对余下没有被覆盖的１格，选择一种合并方式加圈合并，直至所有１格都至少被圈一次，而且圈数最少。

4. 对每一个合并圈进行化简，各合并乘积项之和即为逻辑函数的化简结果。

例16：化简函数$\mathbf{F}(a,b,c,d)={\sum }_m(0,2,5,6,7,9,10,14,15)$

解：
第一步：填写卡诺图（为了叙述方便，这里填写最小项的编号，平常应该在对应最小项方格中填1） 。
第二步：画包围圈。
第三步：化简包围圈。

$$\begin{gathered} \mathbf{F}(a,b,c,d)={\sum }_m(9)+{\sum }_m(0,2)+ \\ {\sum }_m(5,7)+{\sum }_m(2,6,10,14)+ \\ {\sum }_m(6,7,14,15) \\ =a\bar{b}\bar{c}d+\bar{a}\bar{b}\bar{d}+\bar{a}bd+c\bar{d}+bc \end{gathered}$$

例17：化简函数$\mathbf{F}(a,b,c,d)={\sum }_m(0,2,5,6,7,8,9,10,11,14,15)$

解：
填写卡诺图，画出只有一种圈法的包围圈。如图(a)。
余下的三个最小项有两种处理方法，如图(b)和图( c )。
显然图(b)中的圈法对应的圈数最少。
化简结果为：$$\begin{gathered} \mathbf{F}(a,b,c,d)=\sum m(5,7)+{\sum }_m(0,2,8,10)+ \\ {\sum }_m(8,9,10,11)+{\sum }_m(6,7,14,15) \\ =\bar{a}bd+\bar{b}\bar{d}+a\bar{b}+bc \end{gathered}$$

如果合并所有的0格，即可得到函数的最简或－与式，也称为圈0法。
圈0法的方法和步骤与圈1法完全相同，不同的是，由$2^i$个0格构成的圈，由圈内取值不变的变量相或来表示（以原变量表示取值0，以反变量表示取值1），所有的或项再相与，即构成最简或－与式。

例18：求函数$\mathbf{F}(a,b,c,d)={\sum }_m(0,2,3,5,7,8,10,11,13)$的最简或-与式

解：填写卡诺图，画包围圈，化简。
$$\begin{gathered} \prod M(1,9)=b+c+\bar{d} \\ \prod M(14,15)=\bar{a}+\bar{b}+\bar{c} \\ \prod M(4,6,12,14)=\bar{b}+d \end{gathered}$$

通过函数表达式的变换，如：
$$\begin{gathered} F=(b+c+\bar{d})(\bar{a}+\bar{b}+\bar{c})(\bar{b}+d) \\ =\overline{\bar{b}\bar{c}d}\cdot \overline{abc}\cdot b\bar{d}\text{ ( 与非–与式 ) } \\ =\overline{\bar{b}\bar{c}d+abc+b\bar{d}}\text{ ( 与–或非式 ) } \end{gathered}$$

🕤 2.2.5 任意项的使用

• 任意项是指在一个逻辑函数中，变量的某些取值组合不会出现，或者函数在变量的某些取值组合时输出不确定，可能为0，也可能为1，这样的变量的取值组合（最小项）称为任意项。
• 具有任意项的逻辑函数称为非完全描述的逻辑函数。对于非完全描述的逻辑函数，合理地利用任意项，能使逻辑函数的表达式进一步化简。
• 在卡诺图中，任意项格可以作为1格，也可以作为0格。具体是作为1格还是作为0格，以有利于得到最简为前提。
• 所有的任意项用$\sum d(m_i)$表示，在卡诺图中，任意项格用×表示。

例19：化简$\mathbf{F}(a,b,c,d)={\sum }_m(0,2,5,9,15)+{\sum }_m(6,7,8,10,12,13)$

如果不利用任意项，即将任意项全部视作0格，如图2-2-16(a)，化简结果为$$F=\bar{a}\bar{b}\bar{c}+\bar{a}b\bar{c}d+abcd+a\bar{b}\bar{c}d$$ 若合理利用任意项，对有利于化简的任意项作1格处理，如图2-2-16(b) 中任意项$m_7、m_8、m_{10}、m_{12}、m_{13}$，不利于化简的$m_6$作为0格处理,则得到 $$F=\bar{b}\bar{d}+a\bar{c}+bd$$ 对于非完全描述逻辑函数的化简，凡是1格都必须加圈覆盖，而任意格×则可以作为1格加圈合并，也可作为0格不加圈。最后必须指出，化简过程中，已对任意项赋予了确定的输出值。

🕒 3. 练习题

1. 列出下述问题的真值表，并写出逻辑表达式：有a、b、c三个输入信号，当三个输入信号出现奇数个1时，输出为1，其余情况下，输出为0。
   答案：
   $\begin{array}{cccc}a& b& c& Y\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 1& 1\\ 0& 1& 0& 1\\ 0& 1& 1& 0\\ 1& 0& 0& 1\\ 1& 0& 1& 0\\ 1& 1& 0& 0\\ 1& 1& 1& 1\end{array}$

2. 直接写出下列各函数的反函数表达式及对偶函数表达式：
   $F=AB+\overline{CD}+\overline{BC}+\overline{\bar{D}+\bar{C}E+\overline{B+E}}$
   答案：
   反函数：$\bar{F}=(\bar{A}+\bar{B})\overline{(\bar{C}+\bar{D})}\overline{(\bar{B}+\bar{C})}\overline{D(C+\bar{E})\overline{\bar{B}\bar{E}}}$
   对偶式：$F^{\ast }=(A+B)\overline{(C+D)}\overline{(B+C)}\overline{\bar{D}(\bar{C}+E)\overline{BE}}$

3. 用公式法证明下列等式：
   $\bar{A}\bar{C}+\bar{A}\bar{B}+\bar{A}\bar{C}\bar{D}+BC=\bar{A}+BC$
   答案：
   $\begin{array}{rl}\text{ 左 }& =(\bar{A}\bar{C}+\bar{A}\bar{C}\bar{D})+\bar{A}\bar{B}+BC=\bar{A}\bar{C}+\bar{A}\bar{B}+BC\\ & =\bar{A}(\bar{C}+\bar{B})+BC=\bar{A}\overline{BC}+BC=\bar{A}+BC=\text{ 右 }\end{array}$

4. 写出下列式中$F$和它们的对偶式、反演式的最小项表达式：
   $F=A\bar{B}+\bar{A}B+BC$
   答案：
   $F(A,B,C)=A\bar{B}\bar{C}+A\bar{B}C+\bar{A}B\bar{C}+\bar{A}BC+ABC=\sum m(2,3,4,5,7)$
   反演式： $\bar{F}(A,B,C)=\sum m(0,1,6)$
   对偶式： $F^{\ast }(A,B,C)=\sum m(7,6,1)$

5. 用公式法化简下列式子：
   $F=\overline{\overline{AC+\bar{B}C}+B(A\bar{C}+\bar{A}C)}$
   标答：
   $$\begin{gathered} F=(AC+\bar{B}C)(\bar{B}+AC+\bar{A}\bar{C}) \\ =AC(AC+\bar{B}+\bar{A}\bar{C})+\bar{B}C(\bar{B}C+\bar{B}\bar{C}+AC+\bar{A}\bar{C}) \\ =AC+\bar{B}C[公式:A(A+B)=A] \end{gathered}$$
   答案：
   $\begin{array}{rl}F& =(AC+\bar{B}C)\cdot \overline{B(A\bar{C}+\bar{A}C)}\\ & =(AC+\bar{B}C)\cdot (\bar{B}+\overline{A\bar{C}+\bar{A}C})\\ & =(AC+\bar{B}C)\cdot (\bar{B}+\bar{A}\bar{C}+AC)\\ & =ABC+AC+\bar{B}C+A\bar{B}C\\ & =AC+\bar{B}C\end{array}$

6. 用图解法化简下列各函数：
   （1）$F(a,b,c,d)=\prod M(5,7,13,15)$;
   （2）$F(A,B,C,D,E)=\sum m(0,2,4,9,11,14,15,16,17,23,25,29,31)$;
   （3）$F(a,b,c,d,e)=\prod M(0,2,4,9,11,14,15,16,17,23,25,29,31)$;
   答案：（1）：$F=\bar{b}+\bar{d}$
   （2）本题最简与-或式答案唯一，用Q-M法可得同样结果，共含7个乘积项，如下式所示：$F=\bar{A}\bar{B}\bar{D}\cdot \bar{E}+\bar{A}\cdot \bar{B}\cdot \bar{C}\cdot \bar{E}+\bar{A}B\bar{C}E+\bar{A}BCD+A\bar{B}\cdot \bar{C}\cdot \bar{D}+AB\bar{D}E+ACDE$
   （3）首先分析本题同题（2）的区别：题（2）是最小项之和式，而本题是最大项之积式，但两题函数的所有标准项的下标号码完全一样，项数也相同，即它们互为反函数。因此利用反演规则就可得到答案，如下式所示：$F=(a+b+d+e)(a+b+c+e)(a+\bar{b}+c+\bar{e})(a+\bar{b}+\bar{c}+\bar{d})(\bar{a}+b+\bar{c}+d)(\bar{a}+\bar{b}+d+\bar{e})(\bar{a}+\bar{c}+\bar{d}+\bar{e})$

这篇文章从国庆拖到现在，没有考虑好应考性和知识全面性，本期开始停更，愿天堂没有图表和Markdown🙏🙏🙏

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