我们在高等数学中,学习了定积分、二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分。其中奇偶对称性、轮换对称性,一定要好好理解和体会,切不可混淆两种对称性。
定积分、二重积分、三重积分、第一类曲线积分、第一类曲面积分,都用到了奇偶对称性、轮换对称性。
下面以第一类曲面积分进行讨论:
下面举例说明,如何应用上面的理论进行解题:
上面这个例题,很容易判断关于x,y,z都是偶函数。但区域仅仅关于yoz、xoz面对称。因此用了2次奇偶对称,变为4倍的第一卦限的积分。
再举个例子:
分析:
本题的A,左边的被积函数关于x为奇函数,而积分曲面关于yoz对称,因此左边=0;
选项B,左边的被积函数关于y为奇函数,而积分曲面关于xoz对称,因此左边=0;
选项D,左边的被积函数关于y(或X)为奇函数,而积分曲面关于xoz(或yoz)对称,因此左边=0;
对于选项C来说,左边被积函数关于Z为奇函数,但积分曲面关于XOY不对称,因此不能采用这种方式。
注意:
选项C中的f(x,y,z)=z,没有字母X,因此关于X为偶函数,而积分曲面关于YOZ对称,这样上半球面的后侧与前侧合并为2倍的前侧曲面积分;
再就是f(x,y,z)=z中没有字母Y,因此又关于Y为偶函数,而积分曲面关于XOZ对称,这样积分曲面的左侧和右侧,再一次合并为2倍的右侧(即第一卦限的曲面),因此结果为4倍的第一卦限的积分。
再次注意,这里的被积函数还是f(x,y,z)=z,而积分曲面为第一卦限的球面,显然曲面方程关于字母X、Y、Z具备了轮换对称性,因此在第一卦限对被积函数Z的曲面积分=被积函数X的曲面积分=被积函数Y的曲面积分。即:
所以选项C是正确的。
上面的理论,一定要好好体会和理解,熟练掌握该知识点,对于这类题,具有事半功倍的效果。
今天的文章二重积分被积函数的奇偶性总结_二重积分被积函数的奇偶性总结分享到此就结束了,感谢您的阅读。
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