高等数学不定积分方法总结_高数不定积分万能公式

高等数学不定积分方法总结_高数不定积分万能公式本文为第四章——不定积分基础知识

一、不定积分的概念与基本性质

1.1 原函数与不定积分的基本概念

划重点

  • 连续函数一定存在原函数,反之不对。
  • 有第一类间断点的函数一定不存在原函数,但有第二类间断点的函数可能有原函数。
  • 若f(x)有原函数,则它一定有无数个原函数,且任意两个原函数之间相差常数。
  • 偶函数的原函数不一定是奇函数,奇函数的原函数一定是偶函数。

1.2 不定积分的基本性质

  • ∫ [ f ( x ) ± g ( x ) ] d x \int[f(x) ± g(x)]dx [f(x)±g(x)]dx = ∫ f ( x ) d x ± ∫ g ( x ) d x \int f(x)dx ± \int g(x)dx f(x)dx±g(x)dx
  • ∫ k f ( x ) d x \int kf(x)dx kf(x)dx = k ∫ f ( x ) d x \int f(x)dx f(x)dx(k ≠ 0)

二、不定积分基本公式与积分法

2.1 不定积分基本公式

不定积分 原函数
∫ k d x \int kdx kdx kx + C
∫ x   a d x \int x\ ^adx x adx 1 a + 1 x   a + 1 \frac{1}{a + 1}x\ ^{a + 1} a+11x a+1 + C
∫ 1 x d x \int \frac{1}{x}dx x1dx ln|x| + C(x ≠ 0)
∫ a   x d x \int a\ ^xdx a xdx a   x l n a \frac{a\ ^x}{ln a} lnaa x + C(a > 0,a ≠ 1)
∫ e   x d x \int e\ ^xdx e xdx ex + C
∫ s i n x d x \int sin xdx sinxdx -cos x + C
∫ c o s x d x \int cos xdx cosxdx sin x + C
∫ t a n t x d x \int tant xdx tantxdx -ln|cos x| + C
∫ c o t x d x \int cot xdx cotxdx ln|sin x| + C
∫ s e c x d x \int sec xdx secxdx ln|sec x + tan x| + C
∫ c s c x d x \int csc xdx cscxdx ln|csc x – cot x| + C
∫ s e c   2 x d x \int sec\ ^2xdx sec 2xdx tan x + C
∫ c s c   2 x d x \int csc\ ^2xdx csc 2xdx -cot x + C
∫ s e c x t a n x d x \int sec xtan xdx secxtanxdx sec x + C
∫ c s c x c o t x d x \int csc xcot xdx cscxcotxdx -csc x + C
∫ d x 1 − x   2 \int \frac{dx}{\sqrt[]{1 – x\ ^2}} 1x 2
dx
arcsin x + C
∫ d x a   2 − x   2 \int \frac{dx}{\sqrt[]{a\ ^2 – x\ ^2}} a 2x 2
dx
arcsin x a \frac{x}{a} ax + C(a > 0)
∫ d x 1 + x   2 \int \frac{dx}{1 + x\ ^2} 1+x 2dx arctan x + C
∫ d x a   2 + x   2 \int \frac{dx}{a\ ^2 + x\ ^2} a 2+x 2dx 1 a a r c t a n x a \frac{1}{a}arctan\frac{x}{a} a1arctanax + C(a ≠ 0)
∫ d x x   2 − a   2 \int \frac{dx}{x\ ^2 – a\ ^2} x 2a 2dx 1 2 a l n ∣ x − a x + a ∣ \frac{1}{2a}ln|\frac{x – a}{x + a}| 2a1lnx+axa + C(a ≠ 0)
∫ d x x   2 + a   2 \int \frac{dx}{\sqrt[]{x\ ^2 + a\ ^2}} x 2+a 2
dx
ln(x + x   2 + a   2 \sqrt[]{x\ ^2 + a\ ^2} x 2+a 2
) + C
∫ d x x   2 − a   2 \int \frac{dx}{\sqrt[]{x\ ^2 – a\ ^2}} x 2a 2
dx
ln|x + x   2 − a   2 \sqrt[]{x\ ^2 – a\ ^2} x 2a 2
\ + C
∫ a   2 − x   2 d x \int \sqrt[]{a\ ^2 – x\ ^2}dx a 2x 2
dx
a   2 2 a r c s i n x a + x 2 a   2 − x   2 \frac{a\ ^2}{2}arcsin\frac{x}{a} + \frac{x}{2}\sqrt[]{a\ ^2 – x\ ^2} 2a 2arcsinax+2xa 2x 2
+ C(a > 0)

2.2 不定积分的积分法

2.2.1 换元积分法

第一类换元积分法(凑微分法)

设f(u)的原函数为F(u),且u = φ(x)为可导函数,则
∫ f [ φ ( x ) ] φ ′ ( x ) d x \int f[φ(x)]φ'(x)dx f[φ(x)]φ(x)dx = ∫ f [ φ ( x ) ] d [ φ ( x ) ] \int f[φ(x)]d[φ(x)] f[φ(x)]d[φ(x)] = ∫ f ( u ) d u \int f(u)du f(u)du = F(u) + C = F[φ(x)] + C。

以下凑微分法需要熟练掌握

原积分 凑微分法
∫ f ( a x   n + b ) x   n − 1 d x \int f(ax\ ^n + b)x\ ^{n – 1}dx f(ax n+b)x n1dx 1 n a ∫ f ( a x   n + b ) d ( a x   n + b ) \frac{1}{na}\int f(ax\ ^n + b)d(ax\ ^n + b) na1f(ax n+b)d(ax n+b)
∫ f ( x ) 2 x d x \int \frac{f(\sqrt[]{x})}{2\sqrt[]{x}}dx 2x
f(x
)
dx
∫ f ( x ) d x \int f(\sqrt[]{x})d\sqrt[]{x} f(x
)dx
∫ 1 x   2 f ( 1 x ) d x \int \frac{1}{x\ ^2}f(\frac{1}{x})dx x 21f(x1)dx ∫ f ( 1 x ) d ( 1 x ) \int f(\frac{1}{x})d(\frac{1}{x}) f(x1)d(x1)
∫ e   x f ( e   x ) d x \int e\ ^xf(e\ ^x)dx e xf(e x)dx ∫ f ( e   x ) d ( e   x ) \int f(e\ ^x)d(e\ ^x) f(e x)d(e x)
∫ f ( l n x ) x d x \int \frac{f(ln x)}{x}dx xf(lnx)dx ∫ f ( l n x ) d ( l n x ) \int f(ln x)d(ln x) f(lnx)d(lnx)
∫ ( 1 − 1 x   2 ) f ( x + 1 x ) d x \int (1 – \frac{1}{x\ ^2})f(x + \frac{1}{x})dx (1x 21)f(x+x1)dx ∫ f ( x + 1 x ) d ( x + 1 x ) \int f(x + \frac{1}{x})d(x + \frac{1}{x}) f(x+x1)d(x+x1)
∫ ( 1 + 1 x   2 ) f ( x − 1 x ) d x \int (1 + \frac{1}{x\ ^2})f(x – \frac{1}{x})dx (1+x 21)f(xx1)dx ∫ f ( x − 1 x ) d ( x − 1 x ) \int f(x – \frac{1}{x})d(x – \frac{1}{x}) f(xx1)d(xx1)
∫ ( 1 + l n x ) f ( x l n x ) d x \int (1 + ln x)f(xln x)dx (1+lnx)f(xlnx)dx ∫ f ( x l n x ) d ( x l n x ) \int f(xln x)d(xln x) f(xlnx)d(xlnx)
∫ f ( s i n x ) c o s x d x \int f(sin x)cos xdx f(sinx)cosxdx ∫ f ( s i n x ) d ( s i n x ) \int f(sin x)d(sin x) f(sinx)d(sinx)
∫ f ( c o s x ) s i n x d x \int f(cos x)sin xdx f(cosx)sinxdx ∫ f ( c o s x ) d ( c o s x ) \int f(cos x)d(cos x) f(cosx)d(cosx)
∫ f ( t a n x ) s e c   2 x d x \int f(tan x)sec\ ^2xdx f(tanx)sec 2xdx ∫ f ( t a n x ) d ( t a n x ) \int f(tan x)d(tan x) f(tanx)d(tanx)
∫ f ( c o t x ) c s c   2 x d x \int f(cot x)csc\ ^2xdx f(cotx)csc 2xdx ∫ f ( c o t x ) d ( c o t x ) \int f(cot x)d(cot x) f(cotx)d(cotx)
∫ f ( s e c x ) s e c x t a n x d x \int f(sec x)sec xtan xdx f(secx)secxtanxdx ∫ f ( s e c x ) d ( s e c x ) \int f(sec x)d(sec x) f(secx)d(secx)
∫ f ( c s c x ) c s c x c o t x d x \int f(csc x)csc xcot xdx f(cscx)cscxcotxdx ∫ f ( c s c x ) d ( c s c x ) \int f(csc x)d(csc x) f(cscx)d(cscx)
∫ f ( a r c s i n x ) 1 − x   2 d x \int \frac{f(arcsin x)}{\sqrt[]{1 – x\ ^2}}dx 1x 2
f(arcsinx)
dx
∫ f ( a r c s i n x ) d ( a r c s i n x ) \int f(arcsin x)d(arcsin x) f(arcsinx)d(arcsinx)
∫ f ( a r c t a n x ) 1 + x   2 d x \int \frac{f(arctan x)}{1 + x\ ^2}dx 1+x 2f(arctanx)dx ∫ f ( a r c t a n x ) d ( a r c t a n x ) \int f(arctan x)d(arctan x) f(arctanx)d(arctanx)

第二类换元积分法

设φ(t)单调可导且φ’(t) ≠ 0,f(x)有原函数,则
∫ f ( x ) d x \int f(x)dx f(x)dx = ∫ f [ φ ( t ) ] φ ′ ( t ) d t \int f[φ(t)]φ'(t)dt f[φ(t)]φ(t)dt = ∫ g ( t ) d t \int g(t)dt g(t)dt = G(t) + C = G[ φ   − 1 φ\ ^{-1} φ 1(x)] + C。

当被积函数含平方和或平方差是,一般采用三角代换,具体换元方法为

表达式 替换式
a   2 − x   2 a\ ^2 – x\ ^2 a 2x 2 令x = asin t,则 a   2 − x   2 = a   2 c o s   2 t a\ ^2 – x\ ^2 = a\ ^2cos\ ^2t a 2x 2=a 2cos 2t
x   2 + a   2 x\ ^2 + a\ ^2 x 2+a 2 令x = atan t,则 x   2 + a   2 = a   2 s e c   2 t x\ ^2 + a\ ^2 = a\ ^2sec\ ^2t x 2+a 2=a 2sec 2t
x   2 − a   2 x\ ^2 – a\ ^2 x 2a 2 令x = asec t,则 x   2 − a   2 = a   2 t a n   2 t x\ ^2 – a\ ^2 = a\ ^2tan\ ^2t x 2a 2=a 2tan 2t

倒数变换x = 1 t \frac{1}{t} t1

例题
遇到 x \sqrt[]{x} x
,想办法转换称d( x \sqrt[]{x} x
)。

例题
例题

2.2.2 分部积分法

设u(x),v(x)连续可导,则分布积分公式为 ∫ u d v \int udv udv = uv – ∫ v d u \int vdu vdu

以下六种情况使用分部积分公式

  • ∫ x   n e   x d x \int x\ ^ne\ ^xdx x ne xdx,即被积函数为幂函数与指数函数之积。
  • ∫ x   n l n x d x \int x\ ^nln xdx x nlnxdx,即被积函数为幂函数与指数函数之积。
  • 被积函数为幂函数与三角函数之积。
  • 被积函数为幂函数与反三角函数之积。
  • 被积函数为指数函数与三角函数之积。
  • 被积函数为 s e c   n x sec\ ^nx sec nx c s c   n x csc\ ^nx csc nx(n为奇数)。

例题
立體

三、两类重要函数的不定积分——有理函数与三角有理函数

3.1 有理函数的积分

有理函数的概念

设R(x) = P ( x ) Q ( x ) \frac{P(x)}{Q(x)} Q(x)P(x),其中P(x),Q(x)为多项式,称R(x)为有理函数。当分子多项式P(x)的次数小于分母多项式Q(x)的次数时,称R(x)为真分式。否则,称为假分式。

有理函数的积分法

  • 当R(x)为真分式时,将R(x)拆分成部分和的形式。
  • 当R(x)为假分式时,将R(x)拆成多项式与真分式之和,再将真分式拆成部分和的形式。

例题
例题
本题需要明确有理函数的拆分方法。拆分时需要关注x的幂次以及是单根还是重根。以本题为例,说明以下拆分方法。

关注x的幂次

例如, 3 x + 2 x ( 1 + x   2 ) \frac{3x + 2}{x(1 + x\ ^2)} x(1+x 2)3x+2,可以拆分成 A x \frac{A}{x} xA + B x + C 1 + x   2 \frac{Bx + C}{1 + x\ ^2} 1+x 2Bx+C

关注是单根还是重根

例如, x   3 + 3 x   2 ( 1 + x ) \frac{x\ ^3 + 3}{x\ ^2(1 + x)} x 2(1+x)x 3+3,可以拆分成 A x \frac{A}{x} xA + B x   2 \frac{B}{x\ ^2} x 2B + C 1 + x \frac{C}{1 + x} 1+xC

其实还有复数根的情况,这里没有遇到,暂不做介绍,后续遇到会进行补充。

3.2 三角有理函数的不定积分

三角有理函数的概念

设R(x,y)为二元有理函数,称R(sin x,cos x)为三角有理函数。

今天的文章高等数学不定积分方法总结_高数不定积分万能公式分享到此就结束了,感谢您的阅读。

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