本征值和特征值一样吗_特征方程3种通解「建议收藏」

本证方程的本征值 与特征方程的特征值 的区别辨析

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在本科时候学习线性代数矩阵论时，接触到了特征方程以及特征值这个概念；到了后面学习了数学物理方程以及量子力学时，接触到了本征方程以及本征值的概念。这个时候，我开始对这两对概念产生了某种两者必有联系的想法，现在现在就来挖挖。

一、概念对比

1.特征方程以及特征值

特征方程（Characteristic equation）是为研究相应的数学对象而引入的一些等式，因数学对象不同而不同，适用于数列特征方程、矩阵特征方程、微分方程特征方程、积分方程特征方程等。以线性递推数列通项求法为例，这里说明特征方程的应用。对于更高阶的线性递推数列，只要将递推公式中每一个换成，就是它的特征方程。

特征值又称本征值，英文名eigen value。“特征”一词译自德语的eigen，由希尔伯特在1904年首先在这个意义下使用（赫尔曼·冯·亥姆霍兹在更早的时候也在类似意义下使用过这一概念）。特征值是线性代数中的一个重要概念。在数学、物理学、化学、计算机等领域有着广泛的应用。设 A 是n阶方阵，如果存在数m和非零n维列向量 x，使得 Ax=mx 成立，则称 m 是A的一个特征值（characteristic value)或本征值（eigenvalue)。非零n维列向量x称为矩阵A的属于（对应于）特征值m的特征向量或本征向量，简称A的特征向量或A的本征向量。

2.本征方程以及本征值

本征方程更多的主要用在数学物理方程的表示上，如果算符作用于函数等于一个常数g乘以该函数，则该方程称为本征方程。其中该函数称为算符的本征函数，g是算符的对应于本征函数的本征值。量子力学中的许多问题都是求解体系的力学量算符的本征方程以找出其本征值和本征函数，从而确定体系力学量的各种可能的取值；另一方面，本征值常常是分立且不连续的（数学上，常由定解问题的有限边界值条件造成），这从另一个角度反映了量子力学中的离散现象，例如，定态薛定谔方程实质上就是能量算符的本征方程，能量则是其本征值。对于量子定态问题，有限的边界条件常会导致本征值有限且分立，这也就是微观下能量分级的不连续性。

本征值是（实验中）能测得出来的量，与之对应在量子力学理论中，很多量并不能得以测量，当然，其他理论领域也有这一现象。举量子力学以加说明。

二、个人见解

1.区别

首先，这两组概念是非常相近的，甚至在某些场合下，是不做严格区分的：比如在数列、矩阵、积分方程的使用下，特征≈本征；而在量子力学领域的表示中，只涉及到本征的概念。但主要的差别还是在于普通情况下，特征XX比本征XX用的更广泛，个人理解是本征是特征的子集。

狭义的理解是：特征值与矩阵类的运算有关；本征值与非线性偏微分方程类有关。具体地，可参考此图来感受两者间的区别：

2.联系

两者只是在表示领域的概念上有不同的适用范围内容，事实上，两者能表达的作用都是相似甚至一样的。

还记得线性代数里面学过的“特征值”吗？

设T是线性空间V上的一个线性变换，如果有V中的向量x满足：

Tx=λ x

那么λ 就叫T的特征值，x叫做T关于λ 的特征向量。所有T关于λ 的特征向量构成了V的一个子空间，叫做λ 的特征子空间。

本征和特征都是一样的，都是英文eigen的不同翻译：

eigenvalue 特征值本征值

eigenvecter 特征向量本征矢（量）

eigenspace 特征（本征）子空间

operator 算子算符

一个微分方程：

$-\frac{d^2}{dx^2}f(x)=\lambda f(x)$

这个地方微分算子

$-\frac{d^2}{dx^2}$

就好比一个线性变换，而函数f(x)就好比一个向量，而

$\lambda$

就是微分算子

$-\frac{d^2}{dx^2}$

的特征值。

在线代矩阵论中，矩阵的本质是线性变换。线性变换中最简单的一类就是放缩变换。如果在某个向量上，线性变换刚好是放缩变换，就定义之为特征向量，放缩率为特征值。线性递归数列和线性微分方程可以看作找线性变换的不动点。这类问题借助特征值和特征向量可以给出一些特解，而这些特解往往又可以得到通解。比如，一个物理系统，其特性可以被一个矩阵所描述，那么这个系统的物理特性就可以被这个矩阵的特征值所决定，各种不同的信号（向量）进入这个系统中后，系统输出的信号（向量）就会发生相位滞后、放大、缩小等各种纷乱的变化。但只有特征信号（特征向量）被稳定的发生放大（或缩小）的变化。

在量子力学中，如果你去对一个物理量进行观测，你一直得到一个特定的值，那么这个值称为这个物理量的本征值，此时的所处状态称为本征态。本征方程，，比如：Ｈｆ＝ｋｆ。这就可以看做力学量Ｈ的本征方程，ｆ称为本征函数，ｋ称为Ｈ的本征值。定态薛定谔方程就可以看做是能量的本征方程。

大概就是这么理解。

references:

1.http://baike.baidu.com/link?url=nOWd5cvBNZbYGivLWZ3u0fRKRWnhLvX5-mIInH5bZdYbUdpVTqS5L41EOR3Iz83WnwAnSF4jLsJCJeiWbKGB8skPtroIFtRLl_WW_CQbhr1RDXIUOk7O7ALY_N6fKtUD

2.https://zhidao.baidu.com/question/1494118263883499179.html

3.http://baike.baidu.com/link?url=AdMv3JkFJinejNc1VadVVYMXZmsPJISvVucTFFb1hvDMN9YB78Z4KfjR

UYuK6TFCKk0ki_LIOVu6Vc9DZ8EkGiWThw0HuAVXK4_-V1PXCR71CMt1y3w2dSW1PAdMtayX

4.https://www.zhihu.com/question/52992219/answer/132947516

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