2.2 Subspaces

Subspace本身并不是一个很难的概念，就是一个自己也是space的子集合。其检验可以简化为Theorem 1， 即$\alpha ,\beta \in W,c\in F\iff c\alpha +\beta \in W$， 在很多其他的书中，这个定理用于subspace的定义。Example 6 中给出了一些例子，包括zero subspace，symmetric，Hermitan（self-adjoint）空间等。Example 7 说明homogeneous system的解的集合是一个subspace，并且还推广了一个矩阵的带数乘的分配律，即$A(dB+C)=d(AB)+AC$，当然里面矩阵的乘法要有意义。
从Theorem 2开始，用一个很新的方式看待某一类特殊的subspace，即subspace spanned by S，Theorem 2首先说明，V的任意subspace的交集还是一个subspace，由此可知，包含S的subspace有一个最小的subspace（不断地取S的subspace的交集），并因此将subspace spanned by S定义出来：所有包含S的subspace的交。这一定义的好处是允许S有无限元素（实际上是无限维元素），当S只包含有限个vector时，subspace spanned by S是传统上大家比较熟悉的样子。Theorem 3即阐述了：subspace spanned by S实际上是S中vector所有的linear combination的集合，注意这里同样没有限制S是有限的，这就是这一种subspace定义方式的好处。
接下来有一个新的定义即集合的和或者说subspace的和，实质是每个集合中任取一个vector并相加而组成的集合。如果$W_1,W_2,\dots ,W_k$是$V$的subspace，那么$W=W_1+W_2+\cdots +W_k$也是一个subspace（按定义可证），并且$W=\text{subspace spanned by }{W}_1\cup \cdots \cup W_k$，因为采用Theorem 3的类似证法，任意包含$W_1\cup \cdots \cup W_k$的subspace都会包含$W$。
最后是几个例子，其中Example 10和11比较精彩。Example 10提出了row-space的概念，其是矩阵的row vectors spanned的subspace，为未来引入矩阵的rank打下基础。Example 11是一个无限维的subspace的例子，并且为第四章介绍多项式打下基础。

Exercises

1. Which of the following sets of vectors $\alpha =(a_1,\dots ,a_n)$ in $R^n$ are subspaces of $R^n(n\ge 3)$?

( a ) all $\alpha$ such that $a_1\ge 0$;
( b ) all $\alpha$ such that $a_1+3a_2=a_3$;
( c ) all $\alpha$ such that $a_2=a_1^2$;
( d ) all $\alpha$ such that $a_1{a}_2=0$;
( e ) all $\alpha$ such that $a_2$ is rational.
Solution:
(a) No, since $(1,0,\dots ,0)$ satisfies, but $-(1,0,\dots ,0)=(-1,0,\dots ,0)$ doesn’t.
(b) Yes, for $\alpha =(a_1,\dots ,a_n),\beta =(b_1,\dots ,b_n)$, if $a_1+3a_2=a_3,b_1+3b_2=b_3$, then any $c\in R$, the vector $c\alpha +\beta =(c{a}_1+b_1,\dots ,c{a}_n+b_n)$ has the property
$(c{a}_1+b_1)+3(c{a}_2+b_2)=c(a_1+3a_2)+b_1+3b_2=c{a}_3+b_3$
( c ) No, since $(1,1,\dots ,0)$ satisfies, but $2(1,1,\dots ,0)=(2,2,\dots ,0)$ doesn’t.
(d) No, since $(1,0,\dots ,0)$ and $(0,1,\dots ,0)$ satisfies, but $(1,1,\dots ,0)=(1,0,\dots ,0)+(0,1,\dots ,0)$ doesn’t.
(e) No, since $(0,1,\dots ,0)$ satisfies, but $\sqrt{2}(0,1,\dots ,0)=(0,\sqrt{2},\dots ,0)$ doesn’t.

2. Let $V$ be the (real) vector space of all functions $f$ from $R$ into $R$. Which of the following sets of functions are subspaces of $V$?

( a ) all $f$ such that $f(x^2)=f(x{)}^2$;
( b ) all $f$ such that $f(0)=f(1)$;
( c ) all $f$ such that $f(3)=1+f(-5)$;
( d ) all $f$ such that $f(-1)=0$;
( e ) all $f$ which are continuous.
Solution:
(a) No, consider $f(x)=1$ if $x\ge 0$ and $f(x)=$

今天的文章2.2 Subspaces分享到此就结束了，感谢您的阅读。