1. AVL树的概念

二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当于在顺序表中搜索元素，效率低下。

因此，两位俄罗斯的数学家 G.M.Adelson-Velskii 和 E.M.Landis 在 1962 年发明了一种解决上述问题的方法：当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过 1（需要对树中的结点进行调整），即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

平衡二叉树（Balanced Binary Tree 或 Height-Balanced Tree）又称为 AVL 树，其实就是一颗 平衡的二叉排序树 ，解决了二叉查找树的不平衡问题，即斜树。

AVL树或者是一颗空树，或者是具有下列性质的二叉搜索树：

它的左子树和右子树都是平衡二叉树
左右子树高度之差（简称平衡因子）的绝对值不超过 1（即：-1，0，1）

举个例子，下图就是一颗典型的 AVL 树，每个节点旁边都标注了平衡因子：

上面是一颗典型的平衡二叉树，首先它是一颗二叉排序树，其次每一个结点的平衡因子都是 -1，0，1 三个数当中的一个。

红色的数字为结点的平衡因子，对于任意一个叶子结点而言，其左右孩子都为空，左子树的深度为 0 ，右子树的深度为 0 ，所以 AVL树当中的叶子结点的平衡因子都是 0 ；

其他结点的平衡因子同样通过 右子树深度减去左子树深度 可以求得，比如结点 3 的左子树深度为 2，右子树深度为1 ，则平衡因子为 $1 - 2 = - 1$ 。

如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是 AVL 树。如果它有 n 个结点，其高度可保持在 $O (l o g n)$ ，搜索时间复杂度 $O (l o g n$ )。

再来看看不平衡的情况，如下面这颗树：

上图中就是不平衡的二叉排序树，非 AVL树。结点 5 的平衡因子为 -2，该平衡因子是结点 5 右子树深度 2 减去左子树深度 4 所得；

我们要学习的就是将这种不平衡的二叉搜索树转化为 AVL树。

2. AVL树的结点

我们直接按照 KV 模型来构造 AVL 树，需要把结点定义为 三叉链结构，并在每个结点当中引入平衡因子（右子树高度-左子树高度）。

对于结点的构造函数，由于新构造结点的左右子树均为空树，所以只需要将新构造结点的平衡因子初始设置为 0 即可。

代码示例

template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{ 
   
	// 存储的键值对
	pair<K, V> _kv;

	// 三叉链
	AVLTreeNode<K, V>* _left;
	AVLTreeNode<K, V>* _right;
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;

	// 平衡因子(balance factor)
	int _bf; // 右子树高度 - 左子树高度

	// 构造函数
	AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_kv(kv)
		,_left(nullptr)
		,_right(nullptr)
		,_parent(nullptr)
		,_bf(0)
	{ 
   }
};

3. AVL树的插入

对平衡二叉树的插入操作而言，其本质上比二叉搜索树的插入操作多了一个平衡操作，解决了二叉搜索树插入操作可能出现的斜树，不平衡问题。

那么 AVL 树的插入过程可以分为两步：

按照二叉搜索树的方式，找到待插入的位置，然后将新结点插入到该位置。
调整节点的平衡因子，如果出现不平衡，则需要进行旋转。

🍑 更新平衡因子

当 AVL 树插入一个新结点以后，需要更新插入结点的祖先的平衡因子，因为新结点（也就是叶子结点）的平衡因子为 0，但是它影响的是它的父亲，它父亲的父亲…，所以要更新到祖先结点。

所以我们要从新增结点开始，往上沿着祖先路径更新，那么更新的规则如下：

如果新增结点插入在 parent 的右边，只需要给 parent 的平衡因子 +1 即可
如果新增结点插入在 parent 的左边，只需要给 parent 的平衡因子 -1 即可

为什么呢？因为平衡因子的计算方法是：右子树高度 – 左子树高度，如果插入在右边，那么最后的结果肯定是要 ++，反之，则 --。

当 parent 的平衡因子更新完以后，可能出现三种情况：0，正负 1，正负 2。

（1）parent 的平衡因子为 0

如果 parent 的平衡因子为 0，说明插入之前 parent 的平衡因子为正负 1，插入后被调整成 0，此时满足 AVL 树的性质，则插入成功。

如下图所示，插入后使得 parent 左右子树的高度相等了，此操作并没有改变以 parent 为根结点的子树的高度，从而不会影响 parent 的父结点的平衡因子，因此无需继续往上更新平衡因子。

（2）如果 parent 的平衡因子为正负 1

如果 parent 的平衡因子为正负 1，说明插入前 parent 的平衡因子一定为 0，插入后被更新成正负 1。

如下图所示，当新增一个结点以后，parent 的平衡因子从 0 变成了 1，说明新结点的插入使得 parent 的右子树增高了，即改变了以 parent 为根结点的子树的高度，从而会影响 parent 的父结点的平衡因子，因此需要继续往上更新平衡因子。

如下图所示，当新增一个结点以后，parent 的平衡因子从 0 变成了 -1，说明新结点的插入使得 parent 的左子树增高了，即改变了以 parent 为根结点的子树的高度，从而会影响 parent 的父结点的平衡因子，因此需要继续往上更新平衡因子。

进而引出了下面的第 3 种情况。

（3）如果 parent 的平衡因子为正负 2

如果 parent 的平衡因子为 -2，此时 parent 结点的左右子树高度之差的绝对值已经超过 1 了，则 parent 的平衡因子违反平衡树的性质，那么就停止更新，需要对其进行旋转处。

如果 parent 的平衡因子为 2，此时 parent 结点的左右子树高度之差的绝对值已经超过 1 了，则 parent 的平衡因子违反平衡树的性质，那么就停止更新，需要对其进行旋转处。

可以看到，当 parent 的平衡因子为正负 2 时，cur 的平衡因子必定是正负 1 而不会是 0。

🍑 插入函数的实现

上面我们分析了，如果在更新平衡因子的过程当中，出现了平衡因子为正负 2 的结点，此时需要对 以该结点为根结点的树 进行旋转处理（待会儿再讲旋转）。

我们定义一个 cur 用来表示 新增结点，定义一个 parent 用来表示 新增结点的父亲结点。

那么我们更新平衡因子时，第一个要更新的就是 parent 结点的平衡因子，更新完 parent 结点的平衡因子后，若是需要继续往上进行平衡因子的更新，那么要执行以下操作：

if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
{ 
   
	cur = cur->_parent; // cur指向了它的父亲
	parent = parent->_parent; // 它的父亲指向了它的祖先
}

可以看到，我们之所以将 AVL 树结点的结构设置为三叉链结构，是因为我们可以很方便的通过父指针找到其父结点，进而对其平衡因子进行更新。

而当 parent 的平衡因子为正负 2 时，我们需要对其进行旋转操作，当旋转完成以后，就无需继续往上更新平衡因子了，即树的高度没有发生变化，也就不会影响其父结点的平衡因子了。

if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
{ 
   
	// 旋转的四种处理方式
	// 1.左单旋
	// 2.右单旋
	// 3.左右双旋
	// 4.右左双旋

	// 当旋转完成以后，直接跳出
	break;
}

代码示例

public:
	// 插入函数
	bool Insert(const pair<K, V>& kv)
	{ 
   
		// 如果AVL树是空树，把插入节点直接作为根节点
		if (_root == nullptr)
		{ 
   
			_root = new Node(kv);
			_root->_bf = 0;
			return true;
		}

		// 1.按照二叉搜索树的规则插入
		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{ 
   
			if (cur->_kv.first < kv.first) // 待插入节点的key值大于当前节点的key值
			{ 
   
				// 往右子树走
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > kv.first) // 待插入节点的key值小于当前节点的key值
			{ 
   
				// 往左子树走
				parent = cur; 
				cur = cur->_left;
			}
			else // 待插入节点的key值等于当前节点的key值
			{ 
   
				return false; // 插入失败，返回false
			}
		}

		// 2.当循环结束，说明cur找到了空的位置，那么就插入
		cur = new Node(kv); // 构造一个新节点
		if (parent->_kv.first < kv.first) // 如果新节点的key值大于当前parent节点的key值
		{ 
   
			// 就把新节点链接到parent的右边
			parent->_right = cur;
		}
		else // 如果新节点的key值小于当前parent节点的key值
		{ 
   
			// 就把新节点链接到parent的左边
			parent->_left = cur;
		}
		cur->_parent = parent; // 别忘了把新节点里面的_parent指向parent(因为我们定义的是一个三叉链)

		// 3.更新平衡因子,如果出现不平衡,则需要进行旋转
		while (parent) // 最远要更新到根节点去
		{ 
   
			if (cur == parent->_right) // 如果cur插在parent的右边，说明parent的右子树增高
			{ 
   
				parent->_bf++; // 那么parent的平衡因子要++
			}
			else // 如果cur插在parent的左边，说明parent的左子树增高
			{ 
   
				parent->_bf--; // 那么parent的平衡因子要--
			}

			// 判断是否更新结束，或者是否需要进行旋转
			if (parent->_bf == 0) // 如果parent的bf等于0，说明左右子树高度一致，就更新结束(原因是新插入的节点把parent左右子树中矮的那一边给填补了）
			{ 
   
				// 高度不变,更新结束
				break;
			}
			else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1) // 继续往上更新平衡因子(插入节点导致某一边变高了，说明parent所在的子树高度改变了)
			{ 
   
				// 子树的高度变了，就要继续往上更新祖先
				cur = cur->_parent;
				parent = parent->_parent;
			}
			else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2) // 说明插入节点导致本来高的一边又变高了，子树不平衡了，那么此时需要做旋转处理
			{ 
   
				// 旋转的四种处理方式
				// 1.左单旋
				// 2.右单旋
				// 3.左右双旋
				// 4.右左双旋
				
				// 旋转完成，跳出
				break;
			}
			else
			{ 
   
				// 如果程序走到了这里，说明在插入节点之前AVL树就存在不平衡的子树，也就是存在平衡因子 >= 2的节点
				// 所以这里加一个断言进行处理
				assert(false);
			}
		}
		// 插入成功，返回true
		return true;
	}

4. AVL树的旋转

如果在一棵原本是平衡的 AVL 树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，使之平衡化。

根据节点插入位置的不同，AVL 树的旋转分为四种：

左单旋（LL）
右单旋（RR）
左右双旋（LR）
右左双旋（RL）

其实我们只要搞懂 LL 和 RR 就好了，因为 LR 和 RL 都是由它们演变而来的。

不管是什么旋转，都必须满足两点原则：

保持搜索树的规则
子树变平衡

🍑 左单旋

下面是一个 AVL 树的抽象图，长方形条代表的是子树，h 表示 a，b，c 三颗子树的高度。

结点 30 的右子树深度为 h + 2，左子树深度为 h + 1，所以平衡因子为 1。
结点 60 的右子树深度为 h + 1，左子树深度为 h + 1，所以平衡因子为 0。

现在我们在 c 子树的中插入一个新结点，那么此时 c 子树的高度就变成了 h + 1，同时结点 60 的平衡因子为 1，结点 30 的平衡因子为 2，此时右边的高度大于左边的高度，需要进行左单旋。

左单旋的步骤如下：

先让 subR 的左子树（subRL）作为 parent 的右子树。
然后让 parent 作为 subR 的左子树。
接下来让 subR 作为整个子树的根。
最后更新平衡因子。

左单旋图如下所示：

经过旋转以后，它们的平衡因子就发生了变化：

结点 30 的右子树深度为 h，左子树深度为 h，所以平衡因子为 0。
结点 60 的右子树深度为 h + 1 + 1，左子树深度为 h + 1 + 1，所以平衡因子为 0。

这样旋转以后还满足二叉搜索树的性质吗？当面满足，原因如下：

subR 的左子树（subRL）当中结点的值本身就比 parent 的值大，因此可以作为 parent 的右子树。
而 parent 及其左子树当中结点的值本身就比 subR 的值小，因此可以作为 subR 的左子树。

什么时候需要用到左旋操作呢？可以看到，当 parent 的平衡因子为 2，cur 的平衡因子为 1 时，需要进行左单旋。并且经过左单旋后，树的高度没有发生变化，所以左单旋后无需继续往上更新平衡因子。

左单旋动图演示：

可以看到，我们在 32 的右边插入一个值为 35 的新节点，那么此时 32 的平衡因子从 0 变成了 1，29 的平衡因子从 1 变成了 2，出现了右边高，左边低的局面，所以需要进行左单旋

代码示例

private:
	// 左单旋（右边高需要左单旋）
	void RotateL(Node* parent)
	{ 
   
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		Node* ppNode = parent->_parent; // 先保存parent的parent

		// 1.建立parent和subRL之间的关系
		parent->_right = subRL;
		if (subRL) // 如果subRL节点不为空，那么要更新它的parent
		{ 
   
			subRL->_parent = parent;
		}

		// 2.建立subR和parent之间的关系
		subR->_left = parent;
		parent->_parent = subR;

		// 3.建立ppNode和subR之间的关系（分情况讨论parent是整颗树的根，还是局部子树）
		if (parent == _root) // 当parent是根节点时
		{ 
   
			_root = subR; // subR就变成了新的根节点
			_root->_parent = nullptr; // 根节点的的parent为空
		}
		else // 当parent是整个树的局部子树时
		{ 
   
			if (parent == ppNode->_left) // 如果parent在ppNode的左边
			{ 
   
				ppNode->_left = subR; // 那么subR就是parent的左子树
			}
			else // 如果parent在ppNode的右边
			{ 
   
				ppNode->_right = subR; // 那么subR就是parent的右子树
			}
			subR->_parent = ppNode; // subR的parent还要指向ppNode
		}

		// 更新平衡因子
		parent->_bf = 0;
		subR->_bf = 0;
	}

还有一点需要注意，如果在旋转前 parent（30）就是树的根，那么此时只需要更新根结点为 subR（60）即可。

如果 parent（30）只是整颗树局部的一颗子树，那么此时就需要看 30 是它父亲的左子树还是右子树，然后再和 subR 链接起来，如下图所示：

🍑 右单旋

下面是一个 AVL 树的抽象图，长方形条代表的是子树，h 表示 a，b，c 三颗子树的高度。

结点 30 的右子树深度为 h，左子树深度为 h，所以平衡因子为 0。
结点 60 的右子树深度为 h + 1，左子树深度为 h + 1 + 1，所以平衡因子为 -1。

现在我们在 a 子树的中插入一个新结点，那么此时 a 子树的高度就变成了 h + 1，同时结点 60 的平衡因子为 -2，结点 30 的平衡因子为 -1，此时左边的高度大于右边的高度，需要进行右单旋。

右单旋的步骤如下：

先让 subL 的右子树（subLR）作为 parent 的左子树。
然后让 parent 作为 subL 的右子树。
接下来让 subL 作为整个子树的根。
最后更新平衡因子。

右单旋图如下所示：

经过旋转以后，它们的平衡因子就发生了变化：

结点 30 的右子树深度为 h + 1 + 1，左子树深度为 h + 1 + 1，所以平衡因子为 0。
结点 60 的右子树深度为 h + 1，左子树深度为 h + 1，所以平衡因子为 0。

这样旋转以后还满足二叉搜索树的性质吗？当面满足，原因如下：

subL 的右子树当中结点的值本身就比 parent 的值小，因此可以作为 parent 的左子树。
而 parent 及其右子树当中结点的值本身就比 subL 的值大，因此可以作为 subL 的右子树。

什么时候需要用到右旋操作呢？可以看到，当 parent 的平衡因子为 -2，cur 的平衡因子为 -1 时，需要进行右单旋。并且经过右单旋后，树的高度没有发生变化，所以右单旋后无需继续往上更新平衡因子。

右单旋动图演示：

可以看到，我们在 9 的左边插入一个值为 5 的新节点，那么此时 9 的平衡因子从 0 变成了 -1，11 的平衡因子从 -1 变成了 -2，出现了左边高，右边低的局面，所以需要进行右单旋

代码示例

private:
	// 右单旋（左边高就右单旋）
	void RotateR(Node* parent)
	{ 
   
		Node* subL = parent->_left; 
		Node* subLR = subL->_right;
		Node* ppNode = parent->_parent;

		// 1.建立parent和subLR之间的关系
		parent->_left = subLR;
		if (subLR) // 如果subLR节点不为空，那么要更新它的parent
		{ 
   
			subLR->_parent = parent;
		}
		 
		// 2.建立subL和parent之间的关系
		subL->_right = parent;
		parent->_parent = subL;

		// 3.建立ppNode和subL之间的关系（分情况讨论parent是整颗树的根，还是局部子树）
		if (parent == _root) // 当parent是根节点时
		{ 
   
			_root = subL; // subL就变成了新的根节点
			_root->_parent = nullptr; // 根节点的的parent为空
		}
		else // 当parent是整个树的局部子树时
		{ 
   
			if (parent == ppNode->_left) // 如果parent在ppNode的左边
			{ 
   
				ppNode->_left = subL; // 那么subL就是parent的左子树
			}
			else // 如果parent在ppNode的右边
			{ 
   
				ppNode->_right = subL; // 那么subL就是parent的右子树
			}
			subL->_parent = ppNode; // subR的parent还要指向ppNode
		}
		// 更新平衡因子
		parent->_bf = 0;
		subL->_bf = 0;
	}

需要注意，如果在旋转前 parent（60）就是树的根，那么此时只需要更新根结点为 subL（30）即可。

如果 parent（60）只是整颗树局部的一颗子树，那么此时就需要看 60 是它父亲的左子树还是右子树，然后再和 subL 链接起来。

🍑 左右双旋

下面是一个 AVL 树的抽象图，长方形条代表的是子树，h 表示 a 和 d 两颗子树的高度，h-1 代表 b 和 c 两颗子树的高度。

结点 90 的右子树深度为 h + 1，左子树深度为 h + 1 + 1，所以平衡因子为 -1。
结点 30 的右子树深度为 h – 1 + 1 + 1，左子树深度为 h + 1，所以平衡因子为 0。
结点 60 的右子树深度为 h – 1，左子树深度为 h – 1，所以平衡因子为 0。

现在我们在 b 子树的中插入一个新结点，那么此时 b 子树的高度就变成了 h，同时结点 60 的平衡因子变成了 -1，结点 30 的平衡因子变成了 1，结点 90 的平衡因子变成了 -2，此时如果单纯的以结点 90 为旋转点进行左单旋或者右单旋以后，那么仍然不是 AVL 树，所以需要采取左右双旋的方式。

注意：在 b 子树当中新增结点，或是在 c 子树当中新增结点，均会引发左右双旋，这里以在 b 子树当中新增结点为例。

左右双旋的步骤如下：

先以 subL 为旋转点进行左单旋。
然后以 parent 为旋转点进行右单旋。
最后再更新平衡因子。

（1）以 30 为旋转点进行左单旋

（2）以 90 为旋转点进行右单旋

左右双旋后，实际上就是让 subLR 的左子树和右子树，分别作为 subL 和 parent 的右子树和左子树，再让 subL 和 parent 分别作为 subLR 的左右子树，最后让 subLR 作为整个子树的根

这样旋转以后还满足二叉搜索树的性质吗？当面满足，原因如下：

subLR 的左子树当中的结点本身就比 subL 的值大，因此可以作为 subL 的右子树。
subLR 的右子树当中的结点本身就比 parent 的值小，因此可以作为 parent 的左子树。
经过步骤1 和 2 以后，subL 及其子树当中结点的值都就比 subLR 的值小，而 parent 及其子树当中结点的值都就比 subLR 的值大，因此它们可以分别作为 subLR 的左右子树。

左右双旋后，平衡因子的更新随着 subLR 原始平衡因子的不同分为以下三种情况：

（1）当 subLR 原始平衡因子是 -1 时，左右双旋后 parent、subL、subLR 的平衡因子分别更新为 1、0、0

（2）当 subLR 原始平衡因子是 1 时，左右双旋后 parent、subL、subLR 的平衡因子分别更新为 0、-1、0

（3）当 subLR 原始平衡因子是 0 时（说明 subLR 为新增结点），左右双旋后 parent、subL、subLR 的平衡因子分别更新为0、0、0

可以看到，经过左右双旋后，树的高度没有发生变化，所以左右双旋后无需继续往上更新平衡因子。

代码示例

private:
// 左右双旋（先左单旋，再右单旋）
	void RotateLR(Node* parent)
	{ 
   
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
		int bf = subLR->_bf;

		// 1.先以subL为旋转点进行左单旋
		RotateL(parent->_left);

		// 2.再以parent为旋转点进行右单旋
		RotateR(parent);

		// 3.更新平衡因子
		if (bf == 0)
		{ 
   
			parent->_bf = 0;
			subL->_bf = 0;
			subLR->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 1)
		{ 
   
			parent->_bf = 0;
			subL->_bf = -1;
			subLR->_bf = 0;
		}
		else if (bf == -1)
		{ 
   
			parent->_bf = 1;
			subL->_bf = 0;
			subLR->_bf = 0;
		}
		else
		{ 
   
			// 如果走到了这里，说明subLR的平衡因子在旋转前就有问题
			assert(false);
		}
	}

🍑 右左双旋

下面是一个 AVL 树的抽象图，长方形条代表的是子树，h 表示 a 和 d 两颗子树的高度，h-1 代表 b 和 c 两颗子树的高度。

结点 30 的右子树深度为 h + 1 + 1，左子树深度为 h + 1，所以平衡因子为 1。
结点 90 的右子树深度为 h + 1，左子树深度为 h – 1 + 1 + 1，所以平衡因子为 0。
结点 60 的右子树深度为 h – 1，左子树深度为 h – 1，所以平衡因子为 0。

现在我们在 c 子树的中插入一个新结点，那么此时 c 子树的高度就变成了 h，同时结点 60 的平衡因子变成了 1，结点 00 的平衡因子变成了 -1，结点 30 的平衡因子变成了 -2，此时如果单纯的以结点 30 为旋转点进行左单旋或者右单旋以后，那么仍然不是 AVL 树，所以需要采取右左双旋的方式。

注意：在 b 子树当中新增结点，或是在 c 子树当中新增结点，均会引发右左双旋，这里以在 c 子树当中新增结点为例。

右左双旋的步骤如下：

先以 subR 为旋转点进行右单旋。
然后以 parent 为旋转点进行左单旋。
最后再更新平衡因子。

（1）以 90 为旋转点进行右单旋

（2）以 30 为旋转点进行左单旋

右左双旋后，实际上就是让 subRL 的左子树和右子树，分别作为 parent 和 subR 的右子树和左子树，再让 parent 和 subR 分别作为 subRL 的左右子树，最后让 subRL 作为整个子树的根。

这样旋转以后还满足二叉搜索树的性质吗？当面满足，原因如下：

subRL 的左子树当中的结点本身就比 parent 的值大，因此可以作为 parent 的右子树。
subRL 的右子树当中的结点本身就比 subR 的值小，因此可以作为 subR 的左子树。
经过步骤 1 和 2 以后，parent 及其子树当中结点的值都就比 subRL 的值小，而 subR 及其子树当中结点的值都就比 subRL 的值大，因此它们可以分别作为 subRL 的左右子树。

右左双旋后，平衡因子的更新随着 subLR 原始平衡因子的不同分为以下三种情况：

（1）当 subRL 原始平衡因子是 1 时，左右双旋后 parent、subR、subRL 的平衡因子分别更新为 -1、0、0

（2）当 subRL 原始平衡因子是 -1 时，左右双旋后 parent、subR、subRL 的平衡因子分别更新为 0、1、0

（3）当 subRL 原始平衡因子是 0 时（说明 subRL为新增结点），左右双旋后 parent、subR、subRL 的平衡因子分别更新为0、0、0

可以看到，经过右左双旋后，树的高度没有发生变化，所以右左双旋后无需继续往上更新平衡因子。

代码示例

private:
	// 右左双旋（先右单旋，再左单旋）
	void RotateRL(Node* parent)
	{ 
   
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		int bf = subRL->_bf;

		// 1.先以subR为旋转点进行右单旋
		RotateR(parent->_right);

		// 2.再以parent为旋转点进行左单旋
		RotateL(parent);

		// 3.更新平衡因子
		if (bf == 0)
		{ 
   
			subRL->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
			subR->_bf = 0;
		}
		else if (bf == 1)
		{ 
   
			subRL->_bf = 0;
			parent->_bf = -1;
			subR->_bf = 0;
		}
		else if (bf == -1)
		{ 
   
			subRL->_bf = 0;
			parent->_bf = 0;
			subR->_bf = 1;
		}
		else
		{ 
   
			// 如果走到了这里，说明subRL的平衡因子在旋转前就有问题
			assert(false);
		}
	}

🍑 总结

假如以 parent 为根的子树不平衡，即 parent 的平衡因子为 2 或者 -2，分以下情况考虑

parent 的平衡因子为 2，说明 parent 的右子树高，设 parent 的右子树的根为 subR
- 当 subR 的平衡因子为 1 时，执行左单旋
- 当 subR 的平衡因子为 -1 时，执行右左双旋
parent 的平衡因子为 -2，说明 parent 的左子树高，设 parent 的左子树的根为 subL
- 当 subL 的平衡因子为 -1 是，执行右单旋
- 当 subL 的平衡因子为 1 时，执行左右双旋

旋转完成后，原 parent 为根的子树个高度降低，已经平衡，不需要再向上更新。

6. AVL树的删除

平衡二叉树的删除操作与插入操作类似，先执行标准的 BST 删除操作（可以参考文章：什么是二叉查找树），然后进行相应的平衡操作。

主要是三个大思路：

按二叉搜索树的规则删除
更新平衡因子
出现不平衡，需要旋转调整

只不过与二叉搜索树的删除不同的是，删除节点后的平衡因子需要不断更新，最差情况下一直要调整到根节点的位置。

下面简单讲解一下删除的算法思想吧。

🍑 算法思想

我们以删除一个结点 w 为例进行说明平衡二叉树删除操作的具体算法步骤：

对结点 w 执行标准的二叉搜索树的删除操作；
从结点 w 开始，向上回溯，找到第一个不平衡的结点 z （即平衡因子不是 -1，0 或 1 的结点），设 y 为结点 z 的高度最高的孩子结点； x 是结点 y 的高度最高的孩子结点。
然后对以 z 为根结点的子树进行平衡操作，其中 x、y、z 可以的位置有四种情况，BST 删除操作之后的平衡操作也就处理以下四种情况：
- y 是 z 的左孩子，x 是 y 的左孩子（Left Left ，LL )；
- y 是 z 的左孩子，x 是 y 的右孩子（Left Right ，LR )；
- y 是 z 的右孩子，x 是 y 的右孩子（Right Right ，RR )；
- y 是 z 的右孩子，x 是 y 的左孩子（Right Right ，RL )；

这里的四种情况与插入操作一样，但需要注意的是，插入操作仅需要对以 z 为根的子树进行平衡操作；而平衡二叉树的删除操作就不一样，先对以 z 为根的子树进行平衡操作，之后可能需要对 z 的祖先结点进行平衡操作，向上回溯直到根结点。

🍑 示例一

我们已删除下图中的结点 32 为例进行说明。

第一步：由于 32 结点为叶子结点，直接删除，并保存删除结点的父节点 17 。

第二步：从节点 17 向上回溯，找到第一个不平衡结点 44 ，并找到不平衡结点的左右孩子中深度最深的结点 78 （即 y ）；以及 y 的孩子结点当中深度最深的结点 50 （即 x ）。发现为 RL 的情况。

第三步：对结点 78 进行右旋操作

第四步：对结点 44 进行左旋操作

🍑 示例二

我们以删除下图中的结点 80 为例进行说明。

第一步，由于结点 80 为叶子结点，则直接删除，并保存结点 80 的父结点 78 。

第二步：从结点 78 开始寻找第一个不平衡结点，发现就是结点 78 本身（即结点 z ），找到结点 78 深度最深的叶子结点 60 （即结点 y ），以及结点 y 的深度最深的叶结点 55 （即结点 x ）。即 LL 的情况。

第三步：右旋结点 78

第四步：从旋转后的返回的新的根结点 60 向上回溯（这里就和平衡二叉树的插入操作有别了奥，平衡二叉树的插入操作仅对第一个不平衡结点的子树进行平衡操作，而AVL的删除需要不断地回溯，直到根结点平衡为止），判断是否还有不平衡结点，发现整棵树的根结点 50 为第一个不平衡结点，找到对应的 y 结点 25 和 x 结点 10 。同样是 LL 的情况。

第五步：对 z 结点 50 进行右旋操作。

🍑 代码实现

关于左旋与右旋操作，以及平衡因子的计算与之前讲的文章（什么是二叉查找树）中的实现是一致的，我们直接看 AVL 树删除操作的实现代码：

代码示例

// 删除函数
	bool Erase(const K& key)
	{ 
   
		//用于遍历二叉树
		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		//用于标记实际的删除结点及其父结点
		Node* delParentPos = nullptr;
		Node* delPos = nullptr;
		while (cur)
		{ 
   
			if (key < cur->_kv.first) //所给key值小于当前结点的key值
			{ 
   
				//往该结点的左子树走
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else if (key > cur->_kv.first) //所给key值大于当前结点的key值
			{ 
   
				//往该结点的右子树走
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else //找到了待删除结点
			{ 
   
				if (cur->_left == nullptr) //待删除结点的左子树为空
				{ 
   
					if (cur == _root) //待删除结点是根结点
					{ 
   
						_root = _root->_right; //让根结点的右子树作为新的根结点
						if (_root)
							_root->_parent = nullptr;
						delete cur; //删除原根结点
						return true; //根结点无祖先结点，无需进行平衡因子的更新操作
					}
					else
					{ 
   
						delParentPos = parent; //标记实际删除结点的父结点
						delPos = cur; //标记实际删除的结点
					}
					break; //删除结点有祖先结点，需更新平衡因子
				}
				else if (cur->_right == nullptr) //待删除结点的右子树为空
				{ 
   
					if (cur == _root) //待删除结点是根结点
					{ 
   
						_root = _root->_left; //让根结点的左子树作为新的根结点
						if (_root)
							_root->_parent = nullptr;
						delete cur; //删除原根结点
						return true; //根结点无祖先结点，无需进行平衡因子的更新操作
					}
					else
					{ 
   
						delParentPos = parent; //标记实际删除结点的父结点
						delPos = cur; //标记实际删除的结点
					}
					break; //删除结点有祖先结点，需更新平衡因子
				}
				else //待删除结点的左右子树均不为空
				{ 
   
					//替换法删除
					//寻找待删除结点右子树当中key值最小的结点作为实际删除结点
					Node* minParent = cur;
					Node* minRight = cur->_right;
					while (minRight->_left)
					{ 
   
						minParent = minRight;
						minRight = minRight->_left;
					}
					cur->_kv.first = minRight->_kv.first; //将待删除结点的key改为minRight的key
					cur->_kv.second = minRight->_kv.second; //将待删除结点的value改为minRight的value
					delParentPos = minParent; //标记实际删除结点的父结点
					delPos = minRight; //标记实际删除的结点
					break; //删除结点有祖先结点，需更新平衡因子
				}
			}
		}
		if (delParentPos == nullptr) //delParentPos没有被修改过，说明没有找到待删除结点
		{ 
   
			return false;
		}

		//记录待删除结点及其父结点（用于后续实际删除）
		Node* del = delPos;
		Node* delP = delParentPos;

		//更新平衡因子
		while (delPos != _root) //最坏一路更新到根结点
		{ 
   
			if (delPos == delParentPos->_left) //delParentPos的左子树高度降低
			{ 
   
				delParentPos->_bf++; //delParentPos的平衡因子++
			}
			else if (delPos == delParentPos->_right) //delParentPos的右子树高度降低
			{ 
   
				delParentPos->_bf--; //delParentPos的平衡因子--
			}
			//判断是否更新结束或需要进行旋转
			if (delParentPos->_bf == 0)//需要继续往上更新平衡因子
			{ 
   
				//delParentPos树的高度变化，会影响其父结点的平衡因子，需要继续往上更新平衡因子
				delPos = delParentPos;
				delParentPos = delParentPos->_parent;
			}
			else if (delParentPos->_bf == -1 || delParentPos->_bf == 1) //更新结束
			{ 
   
				break; //delParent树的高度没有发生变化，不会影响其父结点及以上结点的平衡因子
			}
			else if (delParentPos->_bf == -2 || delParentPos->_bf == 2) //需要进行旋转（此时delParentPos树已经不平衡了）
			{ 
   
				if (delParentPos->_bf == -2)
				{ 
   
					if (delParentPos->_left->_bf == -1)
					{ 
   
						Node* tmp = delParentPos->_left; //记录delParentPos右旋转后新的根结点
						RotateR(delParentPos); //右单旋
						delParentPos = tmp; //更新根结点
					}
					else if (delParentPos->_left->_bf == 1)
					{ 
   
						Node* tmp = delParentPos->_left->_right; //记录delParentPos左右旋转后新的根结点
						RotateLR(delParentPos); //左右双旋
						delParentPos = tmp; //更新根结点
					}
					else //delParentPos->_left->_bf == 0
					{ 
   
						Node* tmp = delParentPos->_left; //记录delParentPos右旋转后新的根结点
						RotateR(delParentPos); //右单旋
						delParentPos = tmp; //更新根结点
						//平衡因子调整
						delParentPos->_bf = 1;
						delParentPos->_right->_bf = -1;
						break; //更正
					}
				}
				else //delParentPos->_bf == 2
				{ 
   
					if (delParentPos->_right->_bf == -1)
					{ 
   
						Node* tmp = delParentPos->_right->_left; //记录delParentPos右左旋转后新的根结点
						RotateRL(delParentPos); //右左双旋
						delParentPos = tmp; //更新根结点
					}
					else if (delParentPos->_right->_bf == 1)
					{ 
   
						Node* tmp = delParentPos->_right; //记录delParentPos左旋转后新的根结点
						RotateL(delParentPos); //左单旋
						delParentPos = tmp; //更新根结点
					}
					else //delParentPos->_right->_bf == 0
					{ 
   
						Node* tmp = delParentPos->_right; //记录delParentPos左旋转后新的根结点
						RotateL(delParentPos); //左单旋
						delParentPos = tmp; //更新根结点
						//平衡因子调整
						delParentPos->_bf = -1;
						delParentPos->_left->_bf = 1;
						break; //更正
					}
				}
				//delParentPos树的高度变化，会影响其父结点的平衡因子，需要继续往上更新平衡因子
				delPos = delParentPos;
				delParentPos = delParentPos->_parent;
				//break; //error
			}
			else
			{ 
   
				assert(false); //在删除前树的平衡因子就有问题
			}
		}
		//进行实际删除
		if (del->_left == nullptr) //实际删除结点的左子树为空
		{ 
   
			if (del == delP->_left) //实际删除结点是其父结点的左孩子
			{ 
   
				delP->_left = del->_right;
				if (del->_right)
					del->_right->_parent = parent;
			}
			else //实际删除结点是其父结点的右孩子
			{ 
   
				delP->_right = del->_right;
				if (del->_right)
					del->_right->_parent = parent;
			}
		}
		else //实际删除结点的右子树为空
		{ 
   
			if (del == delP->_left) //实际删除结点是其父结点的左孩子
			{ 
   
				delP->_left = del->_left;
				if (del->_left)
					del->_left->_parent = parent;
			}
			else //实际删除结点是其父结点的右孩子
			{ 
   
				delP->_right = del->_left;
				if (del->_left)
					del->_left->_parent = parent;
			}
		}
		delete del; //实际删除结点
		return true;
	}

7. AVL树的遍历

中序遍历和二叉树的中序实现一样，只不过因为中序是递归遍历，涉及到传参，所以需要写一个子函数。

代码示例

private:
	// 中序遍历（子函数）
	void _InOrder(Node* root)
	{ 
   
		if (root == nullptr)
			return;

		_InOrder(root->_left);
		cout << root->_kv.first << " ";
		_InOrder(root->_right);
	}
public:
	// 中序遍历
	void InOrder()
	{ 
   
		_InOrder(_root);
		cout << endl;
	}

8. AVL树的查找

AVL树的查找与二叉搜索树一样：

若树为空树，则查找失败，返回 nullptr。
若树不为空树，则有以下三种情况：
- 若 key 值小于当前结点的值，则应该在该结点的左子树当中进行查找。
- 若 key 值大于当前结点的值，则应该在该结点的右子树当中进行查找。
- 若 key 值等于当前结点的值，则查找成功，返回对应结点。

代码示例

public:
	// 查找函数
	Node* Find(const K& key)
	{ 
   
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{ 
   
			if (cur->_kv.first < key) // key值大于该结点的值
			{ 
   
				cur = cur->_left; // 在该结点的右子树当中查找
			}
			else if (cur->_kv.first < key) // key值小于该结点的值
			{ 
   
				cur = cur->_right; // 在该结点的左子树当中查找
			}
			else // 当前节点的值等于key值
			{ 
   
				return cur; //返回该结点
			}
		}
		return nullptr; //查找失败
	}

9. AVL树的高度

这里和求二叉树的深度是一样的方式，采用分治的思想：

若为空树，则深度为 0。
若不为空树，则深度 = 左右子树中深度最大的值 + 1（为什么要加1呢？因为还有第一层，也就是根节点这一层！）

代码示例

private:
	// 求树的高度（子函数）
	int _Height(Node* root)
	{ 
   
		if (root == nullptr) // 空树高度为0
			return 0;

		int lh = _Height(root->_left); // 递归计算左子树高度
		int rh = _Height(root->_right); // 递归计算右子树高度

		return lh > rh ? lh + 1 : rh + 1; // 左树高度或者右树高度大的哪一个，然后再+1，就是整棵树的高度
	}
public:
	// 树的高度
	int Height()
	{ 
   
		return _Height(_root);
	}

10. AVL树的验证

AVL树是在二叉搜索树的基础上加入了平衡性的限制，因此要验证AVL树，可以分为下面两步：

（1）验证其为二叉搜索树

如果中序遍历可得到一个有序的序列，就说明为二叉搜索树

（2）验证其为平衡树

每个节点子树高度差的绝对值不超过 1（注意节点中如果没有平衡因子）
节点的平衡因子是否计算正确

检测二叉树是否平衡的代码

private:
	// 判断是否为平衡二叉树（子函数）
	bool _IsBalanceTree(Node* root)
	{ 
   
		// 空树也是AVL树
		if (nullptr == root)
			return true;

		// 计算pRoot节点的平衡因子：即pRoot左右子树的高度差
		int leftHeight = _Height(root->_left);
		int rightHeight = _Height(root->_right);
		int diff = rightHeight - leftHeight;

		// 如果计算出的平衡因子与pRoot的平衡因子不相等，或者
		// pRoot平衡因子的绝对值超过1，则一定不是AVL树
		if (abs(diff) >= 2)
		{ 
   
			cout << root->_kv.first << "节点平衡因子异常" << endl;
			return false;
		}

		if (diff != root->_bf)
		{ 
   
			cout << root->_kv.first << "节点平衡因子不符合实际" << endl;
			return false;
		}

		// pRoot的左和右如果都是AVL树，则该树一定是AVL树
		return _IsBalanceTree(root->_left)
			&& _IsBalanceTree(root->_right);
	}
public:
	// 判断是否为平衡二叉树
	bool IsBalanceTree()
	{ 
   
		return _IsBalanceTree(_root);
	}

🍑 数据测试

（1）测试一组有序值

// 插入有序值
void TestAVLTree1()
{ 
   
	const int N = 20;

	vector<int> v;
	v.reserve(N);
	srand(time(0));
	for (size_t i = 0; i < N; ++i)
	{ 
   
		v.push_back(i);
	}

	AVLTree<int, int> t;
	for (auto e : v)
	{ 
   
		t.Insert(make_pair(e, e));
	}

	if (t.IsBalanceTree())
	{ 
   
		cout << "AVL树平衡" << endl;
	}
	else
	{ 
   
		cout << "AVL树不平衡" << endl;
	}
	
	cout << "AVL树高度：" << t.Height() << endl;

	cout << "中序遍历：";
	t.InOrder();
}

运行结果

（2）测试一组随机值

// 插入随机值
void TestAVLTree2()
{ 
   
	const size_t N = 20;

	vector<int> v;
	v.reserve(N);
	srand(time(0));

	for (size_t i = 0; i < N; ++i)
	{ 
   
		v.push_back(rand());
	}

	AVLTree<int, int> t;
	for (auto e : v)
	{ 
   
		t.Insert(make_pair(e, e));
	}
	if (t.IsBalanceTree())
	{ 
   
		cout << "AVL树平衡" << endl;
	}
	else
	{ 
   
		cout << "AVL树不平衡" << endl;
	}
	cout << "AVL树高度：" << t.Height() << endl;

	cout << "中序遍历：";
	t.InOrder();
}

运行结果

11. AVL树优缺点分析

优点：

平衡二叉树的优点不言而喻，相对于二叉排序树（BST）而言，平衡二叉树避免了二叉排序树可能出现的最极端情况（斜树）问题，其平均查找的时间复杂度为 $O (l o g N)$

缺点：

平衡二叉树为了保持平衡，动态进行插入和删除操作的代价也会增加。因此出现了后来的红黑树（下篇文章会讲解）

时间复杂度分析：

左旋和右旋操作仅需要改变几个指针，时间复杂度为 $O (1)$ ，更新结点的深度以及获得平衡因子仅需要常数时间，所以平衡二叉树的删除操作的时间复杂度与二叉排序树BST的删除操作一样，均为 $O (h)$ ，其中 h 为树的高度。由于AVL 树是平衡的，所以高度 $h = l o g N$ ，因此，AVL 删除操作的时间复杂度为 $O (l o g N)$

总结：

AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过 1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度，即 $O (l o g N)$ 。
但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。
因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的（即不会改变），可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。

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C/C++数据结构（十一）—— 平衡二叉树（AVL树）

文章目录

1. AVL树的概念

2. AVL树的结点

3. AVL树的插入

🍑 更新平衡因子

🍑 插入函数的实现

4. AVL树的旋转

🍑 左单旋

🍑 右单旋

🍑 左右双旋

🍑 右左双旋

🍑 总结

6. AVL树的删除

🍑 算法思想

🍑 示例一

🍑 示例二

🍑 代码实现

7. AVL树的遍历

8. AVL树的查找

9. AVL树的高度

10. AVL树的验证

🍑 数据测试

11. AVL树优缺点分析

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C/C++数据结构（十一）—— 平衡二叉树（AVL树）

文章目录

1. AVL树的概念

2. AVL树的结点

3. AVL树的插入

🍑 更新平衡因子

🍑 插入函数的实现

4. AVL树的旋转

🍑 左单旋

🍑 右单旋

🍑 左右双旋

🍑 右左双旋

🍑 总结

6. AVL树的删除

🍑 算法思想

🍑 示例一

🍑 示例二

🍑 代码实现

7. AVL树的遍历

8. AVL树的查找

9. AVL树的高度

10. AVL树的验证

🍑 数据测试

11. AVL树优缺点分析

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