排列组合的错排法公式_传球问题的递推公式

一、错排问题

$n$ 封不同的信 与 $n$ 个不同的信封 , 将 $n$ 封信都装错信封的方案个数 ;

错排 ( Derangement ) , 因此错排公式中使用 $D(n)$ 表示 $n$ 个元素的错排 ;

假如有 $1$ 封信 , $n=1$ , 此时不能错排 , $D(1)=0$ ;

假如有 $2$ 封信 , $n=2$ , 此时交换一下即可完成错排, 有 $1$ 种方案 , $D(2)=1$ ;

假如有 $3$ 封信 , $1,2,3$ 三封信与三个信封 ,

• 如果 $1$ 放到 $3$ 信封中 , 此时将 $2$ 放到 $1$ 信封中 , 将 $3$ 放到 $2$ 信封中 ,
  $1,2,3$
  $3,1,2$
• 如果 $1$ 放到 $2$ 信封中 , 此时将 $2$ 放到 $3$ 信封中 , 将 $3$ 放到 $1$ 信封中 ,
  $1,2,3$
  $2,3,1$
• $D(3)=2$

如果有 $4$ 封信 , 此时就不好计算 , $9$ 种方法 , $D(4)=9$

如果有 $5$ 封信 $\cdots$ , $D(5)=44$

$⋮$

如果有 $n$ 封信 $\cdots$ , $D(n)=n!(\frac{(-1{)}^0}{0!}+\frac{(-1{)}^1}{1!}+\frac{(-1{)}^2}{2!}+\frac{(-1{)}^3}{3!}+\cdots +\frac{(-1{)}^n}{n!})=n!\sum _{k=0}^n\frac{(-1{)}^k}{k!}$

二、错排问题递推公式推导

观察上述规律 , 推导出递推公式 ;

假如有 $n$ 封信 , 任何一封信都需要错位 , 错排方案数是 $D(n)$ ;

1 . 分步计数原理 : 使用 分步计数原理 , 先统计 第一封信的排列方法 , 然后再讨论 其余信的排列方法数 ;

( 1 ) 第一步 : 首先找出一封信 $a$ 出来 , 这封信不能排在其本身位置 , 只能放在其余 $n-1$ 个位置上 , 因此有 $n-1$ 种排法 ;

( 2 ) 第二步 : 现在讨论其余除 $a$ 之外的其余信的位置的错排问题 ;

2 . 分类计数原理

假设第一封信 $a$ 占据了 $b$ 的位置 , 那么此时 $b$ 放在哪个信封分两种情况 , $b$ 放在 $a$ 位置 , 或 $b$ 不放在 $a$ 位置 ;

( 1 ) 第一类 : 第一种情况是放在 $a$ 位置 , 此时 $b$ 放在 $a$ 位置 , 剩下 $n-2$ 封信进行错排 , 方案数是 $D(n-2)$

( 2 ) 第二类 : 第二种情况是 $b$ 没有去 $a$ 的位置 , 那么 $b$ 可能出现在除 $a$ 之外的任何位置 , $b$ 有 $n-2$ 个位置可以去 , 不能去 $a,b$ 位置 , 其余所有元素都有 $n-2$ 个位置可以去 ( $a,b$ 位置不能去 ) , 这种情况下 相当于除 $a$ 之外的其它元素的错排问题 , 即 $n-1$ 个元素的错排问题 , 方案数是 $D(n-1)$ ; ★ ( 核心推导逻辑 ) ★

( 3 ) 加法法则 : 汇总上述分类计数原理 , 使用 加法法则 , 计算结果是 $D(n-1)+D(n-2)$

3 . 乘法法则 : 汇总上述分步计数原理 , 使用 乘法法则 , 计算结果是

$D(n)=(n-1)(D(n-1)+D(n-2))$

三、推导错排公式

递推公式 : $D(n)=(n-1)(D(n-1)+D(n-2))$

初值 : $D(1)=0,D(2)=1$

使用 递推方程 , 生成函数求解递推方程 , 容斥原理 , 可以推导出如下公式 :

$D(n)=n!(\frac{(-1{)}^0}{0!}+\frac{(-1{)}^1}{1!}+\frac{(-1{)}^2}{2!}+\frac{(-1{)}^3}{3!}+\cdots +\frac{(-1{)}^n}{n!})=n!\sum _{k=0}^n\frac{(-1{)}^k}{k!}$

参考 :

• 百度百科-错排公式
• 【组合数学】递推方程 ( 递推方程求解过程总结 | 齐次 | 重根 | 非齐次 | 特征根为 1 | 指数形式 | 底为特征根的指数形式 ) ★★
• 【组合数学】生成函数 ( 生成函数应用场景 | 使用生成函数求解递推方程 )
• 【集合论】容斥原理 ( 包含排斥原理 | 示例 )

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