经典力学学习（运动学）——圆周运动与一般平面曲线运动「建议收藏」

圆周运动的$运动方程$和$轨迹方程$

1、圆周运动方程的$分量式$

$$x=Rcos(wt),y=Rsin(wt),z=0$$

1、圆周运动方程的$矢量式$

$$\vec{r}=R(cos(wt)\vec{i}+sin(wt)\vec{j})$$

轨迹方程

$$x^2+y^2=R^2,z=0$$

自然坐标中的速度和加速度

速度

线速度：$$\vec{v}=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}=\lim (\frac{\Delta \vec{r}}{\Delta s}\frac{\Delta s}{\Delta t})=(\lim \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta s})(\lim \frac{\Delta s}{\Delta t})$$$$(\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\Delta \vec{r}}{\Delta s})=\frac{d\vec{r}}{ds}=\vec{\tau }$$$$v=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{ds}{dt}$$$$\vec{v}=v\vec{\tau }=\frac{ds}{dt}\vec{\tau }$$

圆周运动加速度

加速度：$$\vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}=\frac{d(v\vec{\tau })}{dt}=\frac{dv}{dt}\vec{\tau }+v\frac{d\vec{\tau }}{dt}$$其中：$$d\vec{\tau }=|\tau |d\theta \vec{n}=d\theta \vec{n}$$$$\frac{d\vec{\tau }}{dt}=\frac{d\theta }{dt}\vec{n}=\frac{Rd\theta }{Rdt}\vec{n}=\frac{1}{R}\frac{ds}{dt}\vec{n}=\frac{v}{R}\vec{n}$$$$\Rightarrow \vec{a}=\frac{dv}{dt}\vec{\tau }+\frac{v^2}{R}\vec{n}=a_{\tau }\vec{\tau }+a_n\vec{n}$$
切向加速度：$$a_{\tau }=\frac{dv}{dt}$$
法向加速度：$$a_n=\frac{v^2}{R}$$
加速度大小：$$a=|\vec{a}|=\sqrt{a_{\tau }^2+a_n^2}$$

圆周运动的角量表示

角速度：$$\omega =\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\Delta \theta }{\Delta t}=\frac{d\theta }{dt}$$
角加速度：$$\alpha =\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\Delta \omega }{\Delta t}=\frac{d\omega }{dt}=\frac{d^2\theta }{d{t}^2}$$
$角速度\vec{\omega }方向：$按照“右手规则”确定，四个手指指向运动方向，大拇指方向便是角速度方向。
$角加速度\vec{\alpha }方向：$加速时与$\vec{\omega }$方向相同，减速时与$\vec{\omega }$方向相反。

圆周运动中线量与角量的关系

线速度与角速度：$$\Delta s=R\Delta \theta =>v=R\omega$$
切向加速度与角加速度：$$a_{\tau }=R\alpha (由上式对t求导所得)$$
法向加速度与角速度：$$a_n=\frac{v^2}{R}=v\omega =R{\omega }^2$$
速度分量式：$$v_x=\frac{dx}{dt}=\frac{d(Rcos\omega t)}{dt}=-R\omega sin\omega t$$$$v_y=\frac{dy}{dt}=\frac{d(Rsin\omega t)}{dt}=R\omega cos\omega t$$$$v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=R\omega$$
速度矢量式：$$\vec{v}=\frac{d\vec{r}}{dt}=v_x\vec{i}+v_y\vec{j}=R\omega (-sin\omega t\vec{i}+cos\omega t\vec{j})$$
加速度分量式:$$a_x=\frac{d{v}_x}{dt}=-R{\omega }^{2}cos\omega t$$$$a_y=\frac{d{v}_y}{dt}=-R{\omega }^{2}sin\omega t$$$$a=|\vec{a}|=\sqrt{a_x^2+a_y^2}=R{\omega }^2$$

匀变速率圆周运动

$$\alpha =常量，故：a_t=r\alpha ,a_n=r{\omega }^2$$$$\omega ={\omega }_0+\alpha t$$$$\theta ={\theta }_0+{\omega }_{0}t+\frac{1}{2}\alpha t^2$$$${\omega }^2={\omega }_0^2+2\alpha (\theta -{\theta }_0)$$

一般平面曲线运动

对于这种曲线运动，曲率半径是变化的，通常是$\rho$来表示。

$$\vec{a}={\vec{a}}_{\tau }+{\vec{a}}_n=a_{\tau }\vec{\tau }+a_n\vec{n}=\frac{dv}{dt}\vec{\tau }+\frac{v^2}{\rho }\vec{n}$$$$a=|\vec{a}|=\sqrt{a_{\tau }^2+a_n^2}$$
对于匀速圆周运动：$$v=C,a_{\tau }=\frac{dv}{dt}=0,a=a_n=\frac{v^2}{R}$$

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